13.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 315
13.1.2 Systèmes autonomes
Ce qu’il faut savoir (dans la filière PC)
Soient U un ouvert de R
2 , f et g deux applications continues de U dans R. Une
solution du système différentiel
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
sur un intervalle I est un couple
(x, y) d’applications de I dans R, de classe C
1 , vérifiant ∀t ∈ I , (x(t), y(t)) ∈ U
et x
(t) = f (x(t), y(t)), y
(t) = g(x(t), y(t)).
Une solution maximale de ce système est une solution sur un intervalle I qu’on
ne peut pas prolonger en une solution sur un intervalle contenant strictement I .
Théorème de Cauchy-Lipschitz 2 : Si f et g sont de classe C
1 sur U , alors
pour tout (t 0 , x 0 , y 0 ) ∈ R × U , il existe une unique solution maximale (x, y) du
système différentiel vérifiant (x(t 0 ) = x 0 , y(t 0 ) = y 0 ). Son intervalle de définition
est ouvert.
On dit que (x, y) est la solution du problème de Cauchy associé au système en
(t 0 , x 0 , y 0 ).
Invariance par translation : Si (x, y) est une solution sur I = ] a, b [ et si t 1 est
un réel, alors la fonction t → (x(t −t 1 ), y(t −t 1 )) est solution sur ] a + t 1 , b + t 1 [ .
Exercice 13.4
Soient f et g deux applications de classe C
1 de U dans R, et (S) le système
différentiel
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
Soient (x 0 , y 0 ) ∈ U et (x, y) la solution maximale, définie sur l’intervalle I , du
problème de Cauchy en (t 0 , x 0 , y 0 ).
1. A quelle condition la fonction constante t → (x 0 , y 0 ) est-elle solution de (S) ?
2. On suppose que ( f (x 0 , y 0 ), g(x 0 , y 0 )) = (0, 0).
Montrer que ∀t ∈ I , ( f (x(t), y(t)), g(x(t), y(t))) = (0, 0).
3. On suppose qu’il existe t 1 ∈ I tel que t 1 > t 0 et (x(t 1 ), y(t 1 )) = (x(t 0 ), y(t 0 )).
Montrer que I = R et que les fonctions x et y sont périodiques de période
t 1 − t 0 .
1. Une fonction constante a une dérivée nulle, donc t → (x 0 , y 0 ) est solution du
système si et seulement si f (x 0 , y 0 ) = 0 et g(x 0 , y 0 ) = 0.
2. Supposons qu’il existe t 1 ∈ I tel que f (x(t 1 ), y(t 1 )) = g(x(t 1 ), y(t 1 )) = 0.
La fonction constante t → (x(t 1 ), y(t 1 )) est alors solution du système sur
R, avec les mêmes conditions initiales en t 1 que la solution (x, y), donc
par unicité, on a ∀t ∈ I , x(t) = x(t 1 ) et y(t) = y(t 1 ). En particulier,
f (x 0 , y 0 ) = f (x(t 0 ), y(t 0 )) = f (x(t 1 ), y(t 1 )) = 0 et de même g(x 0 , y 0 ) = 0
ce qui apporte une contradiction.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
13.1.2 Systèmes autonomes
Ce qu’il faut savoir (dans la filière PC)
Soient U un ouvert de R
2 , f et g deux applications continues de U dans R. Une
solution du système différentiel
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
sur un intervalle I est un couple
(x, y) d’applications de I dans R, de classe C
1 , vérifiant ∀t ∈ I , (x(t), y(t)) ∈ U
et x
(t) = f (x(t), y(t)), y
(t) = g(x(t), y(t)).
Une solution maximale de ce système est une solution sur un intervalle I qu’on
ne peut pas prolonger en une solution sur un intervalle contenant strictement I .
Théorème de Cauchy-Lipschitz 2 : Si f et g sont de classe C
1 sur U , alors
pour tout (t 0 , x 0 , y 0 ) ∈ R × U , il existe une unique solution maximale (x, y) du
système différentiel vérifiant (x(t 0 ) = x 0 , y(t 0 ) = y 0 ). Son intervalle de définition
est ouvert.
On dit que (x, y) est la solution du problème de Cauchy associé au système en
(t 0 , x 0 , y 0 ).
Invariance par translation : Si (x, y) est une solution sur I = ] a, b [ et si t 1 est
un réel, alors la fonction t → (x(t −t 1 ), y(t −t 1 )) est solution sur ] a + t 1 , b + t 1 [ .
Exercice 13.4
Soient f et g deux applications de classe C
1 de U dans R, et (S) le système
différentiel
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
Soient (x 0 , y 0 ) ∈ U et (x, y) la solution maximale, définie sur l’intervalle I , du
problème de Cauchy en (t 0 , x 0 , y 0 ).
1. A quelle condition la fonction constante t → (x 0 , y 0 ) est-elle solution de (S) ?
2. On suppose que ( f (x 0 , y 0 ), g(x 0 , y 0 )) = (0, 0).
Montrer que ∀t ∈ I , ( f (x(t), y(t)), g(x(t), y(t))) = (0, 0).
3. On suppose qu’il existe t 1 ∈ I tel que t 1 > t 0 et (x(t 1 ), y(t 1 )) = (x(t 0 ), y(t 0 )).
Montrer que I = R et que les fonctions x et y sont périodiques de période
t 1 − t 0 .
1. Une fonction constante a une dérivée nulle, donc t → (x 0 , y 0 ) est solution du
système si et seulement si f (x 0 , y 0 ) = 0 et g(x 0 , y 0 ) = 0.
2. Supposons qu’il existe t 1 ∈ I tel que f (x(t 1 ), y(t 1 )) = g(x(t 1 ), y(t 1 )) = 0.
La fonction constante t → (x(t 1 ), y(t 1 )) est alors solution du système sur
R, avec les mêmes conditions initiales en t 1 que la solution (x, y), donc
par unicité, on a ∀t ∈ I , x(t) = x(t 1 ) et y(t) = y(t 1 ). En particulier,
f (x 0 , y 0 ) = f (x(t 0 ), y(t 0 )) = f (x(t 1 ), y(t 1 )) = 0 et de même g(x 0 , y 0 ) = 0
ce qui apporte une contradiction.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit