314 Chap. 13. Équations différentielles non linéaires
• Supposons à présent que y
ne s’annule pas. Comme elle est continue, elle garde
un signe constant, donc y est monotone.
Exercice 13.2
Montrer que le problème de Cauchy (2x yy
= x
2 + y
2 , y(1) = 2) admet une
solution maximale que l’on déterminera (on pourra poser z = y
2 ).
En posant f (x, y) =
x
2 + y
2
2x y
, la fonction f est de classe C
1 sur ] 0, +∞ [
2 , donc
le théorème de Cauchy garantit l’existence et l’unicité d’une solution maximale y
définie sur un intervalle I inclus dans ] 0, +∞ [ et ne s’annulant pas donc positive car
y(1) = 2. En posant z = y
2 , on a z
= 2yy
, donc on obtient l’équation xz
= x
2 + z,
qui est linéaire. L’équation homogène a pour solution z = Ax et la variation de la
constante conduit à chercher une solution particulière sous la forme z = A(x)x avec
x
2 A
= x
2 , donc z = x
2 convient, d’où la solution générale z = x
2 + Ax. On doit
avoir z(1) = 4, d’où A = 3, d’où finalement y
2 = x
2 + 3x. Comme y est positive, on
en déduit y(x) =
x(x + 3) et l’intervalle maximal est I = ] 0, +∞ [ .
Exercice 13.3
Centrale PSI 2006
Soit (x 0 , y 0 ) ∈ R
2 . Résoudre le problème de Cauchy (y
= ch(x+y), y(x 0 ) = y 0 ).
Indication de la rédaction : poser z = x + y.
Comme dans l’exercice précédent, le théorème de Cauchy s’applique. On pose
z = x + y, l’équation devient z
= ch z + 1 avec la condition z(x 0 ) = z 0 = x 0 + y 0 .
On tombe sur une équation autonome (à variables séparables) qu’on peut écrire
z
1 + ch z
= 1. En intégrant de x 0 à x, on obtient
x − x 0 =
x
x 0
z
(s)
ch z(s) + 1
ds =
z(x)
z 0
dt
1 + ch t
=
z(x)
z 0
2e
t
(1 + e t ) 2 dt =
−
2
e t + 1
z(x)
z 0
d’où
2
e z(x) + 1
= C − x avec C = x 0 +
2
e x 0 +y 0 + 1
. Finalement, on trouve
y(x) = ln
2 − C + x
C − x
− x. L’intervalle maximal I est le plus grand intervalle ouvert contenant x 0 sur lequel C − x et 2 − C + x sont non nuls et de même
signe. Etant donné que C − 2 < x 0 < C, on obtient I = ] C − 2, C [ .
A partir de la courbe correspondant à C = 0, on obtient les autres courbes intégrales
par des translations de vecteur (C, C).
• Supposons à présent que y
ne s’annule pas. Comme elle est continue, elle garde
un signe constant, donc y est monotone.
Exercice 13.2
Montrer que le problème de Cauchy (2x yy
= x
2 + y
2 , y(1) = 2) admet une
solution maximale que l’on déterminera (on pourra poser z = y
2 ).
En posant f (x, y) =
x
2 + y
2
2x y
, la fonction f est de classe C
1 sur ] 0, +∞ [
2 , donc
le théorème de Cauchy garantit l’existence et l’unicité d’une solution maximale y
définie sur un intervalle I inclus dans ] 0, +∞ [ et ne s’annulant pas donc positive car
y(1) = 2. En posant z = y
2 , on a z
= 2yy
, donc on obtient l’équation xz
= x
2 + z,
qui est linéaire. L’équation homogène a pour solution z = Ax et la variation de la
constante conduit à chercher une solution particulière sous la forme z = A(x)x avec
x
2 A
= x
2 , donc z = x
2 convient, d’où la solution générale z = x
2 + Ax. On doit
avoir z(1) = 4, d’où A = 3, d’où finalement y
2 = x
2 + 3x. Comme y est positive, on
en déduit y(x) =
x(x + 3) et l’intervalle maximal est I = ] 0, +∞ [ .
Exercice 13.3
Centrale PSI 2006
Soit (x 0 , y 0 ) ∈ R
2 . Résoudre le problème de Cauchy (y
= ch(x+y), y(x 0 ) = y 0 ).
Indication de la rédaction : poser z = x + y.
Comme dans l’exercice précédent, le théorème de Cauchy s’applique. On pose
z = x + y, l’équation devient z
= ch z + 1 avec la condition z(x 0 ) = z 0 = x 0 + y 0 .
On tombe sur une équation autonome (à variables séparables) qu’on peut écrire
z
1 + ch z
= 1. En intégrant de x 0 à x, on obtient
x − x 0 =
x
x 0
z
(s)
ch z(s) + 1
ds =
z(x)
z 0
dt
1 + ch t
=
z(x)
z 0
2e
t
(1 + e t ) 2 dt =
−
2
e t + 1
z(x)
z 0
d’où
2
e z(x) + 1
= C − x avec C = x 0 +
2
e x 0 +y 0 + 1
. Finalement, on trouve
y(x) = ln
2 − C + x
C − x
− x. L’intervalle maximal I est le plus grand intervalle ouvert contenant x 0 sur lequel C − x et 2 − C + x sont non nuls et de même
signe. Etant donné que C − 2 < x 0 < C, on obtient I = ] C − 2, C [ .
A partir de la courbe correspondant à C = 0, on obtient les autres courbes intégrales
par des translations de vecteur (C, C).