Équations différentielles
non linéaires
13
13.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
13.1.1 Equation non linéaire y
= f(x, y)
Ce qu’il faut savoir (en PC et PSI)
Soit U un ouvert de R
2 et f une application continue de U dans R.
• Si I est un intervalle de R et y une application de I dans R, on dit que le couple
(I , y) est solution de l’équation différentielle y
= f (x, y) lorsque y est dérivable
sur I et ∀x ∈ I , (x, y(x)) ∈ U et y
(x) = f (x, y(x)).
• De même, on dit que le couple (I , y) est solution du problème de Cauchy en
(x 0 , y 0 ) s’il est solution de l’équation précédente et si y(x 0 ) = y 0 .
• S’il n’existe pas de solution prolongeant y sur un intervalle contenant strictement I , on dit que la solution est maximale.
Théorème de Cauchy-Lipschitz 1 : Si f est de classe C
1 sur U , alors pour tout
(x 0 , y 0 ) ∈ U , le problème de Cauchy (y
= f (x, y), y(x 0 ) = y 0 ) admet une
unique solution maximale et son intervalle de définition I est ouvert.
• Equation à variables séparables : Soit a une application de classe C
1 d’un
intervalle J dans R, et b une application de classe C
1 d’un intervalle I dans R.
L’équation différentielle a(y)y
− b(x) = 0 est dite à variables séparables.
Si x → y(x) est une solution telle que y(x 0 ) = y 0 , alors on a pour tout x
y(x)
y 0
a(u) du =
x
x 0
b(s) ds. Ceci fournit une relation implicite entre x et y(x).
Exercice 13.1
TPE PSI 2006
Soit f : R → R de classe C
1 et y : R → R de classe C
1 vérifiant y
= f (y).
Montrer que y est monotone.
• Supposons d’abord qu’il existe x 0 ∈ R tel que y
(x 0 ) = 0. En posant y 0 = y(x 0 ),
on a f (y 0 ) = 0, donc la fonction constante x → y 0 est solution sur R du problème
de Cauchy (z
= f (z), z(x 0 ) = y 0 ), et la fonction y également, donc par unicité, y
est constante (donc monotone).
non linéaires
13
13.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
13.1.1 Equation non linéaire y
= f(x, y)
Ce qu’il faut savoir (en PC et PSI)
Soit U un ouvert de R
2 et f une application continue de U dans R.
• Si I est un intervalle de R et y une application de I dans R, on dit que le couple
(I , y) est solution de l’équation différentielle y
= f (x, y) lorsque y est dérivable
sur I et ∀x ∈ I , (x, y(x)) ∈ U et y
(x) = f (x, y(x)).
• De même, on dit que le couple (I , y) est solution du problème de Cauchy en
(x 0 , y 0 ) s’il est solution de l’équation précédente et si y(x 0 ) = y 0 .
• S’il n’existe pas de solution prolongeant y sur un intervalle contenant strictement I , on dit que la solution est maximale.
Théorème de Cauchy-Lipschitz 1 : Si f est de classe C
1 sur U , alors pour tout
(x 0 , y 0 ) ∈ U , le problème de Cauchy (y
= f (x, y), y(x 0 ) = y 0 ) admet une
unique solution maximale et son intervalle de définition I est ouvert.
• Equation à variables séparables : Soit a une application de classe C
1 d’un
intervalle J dans R, et b une application de classe C
1 d’un intervalle I dans R.
L’équation différentielle a(y)y
− b(x) = 0 est dite à variables séparables.
Si x → y(x) est une solution telle que y(x 0 ) = y 0 , alors on a pour tout x
y(x)
y 0
a(u) du =
x
x 0
b(s) ds. Ceci fournit une relation implicite entre x et y(x).
Exercice 13.1
TPE PSI 2006
Soit f : R → R de classe C
1 et y : R → R de classe C
1 vérifiant y
= f (y).
Montrer que y est monotone.
• Supposons d’abord qu’il existe x 0 ∈ R tel que y
(x 0 ) = 0. En posant y 0 = y(x 0 ),
on a f (y 0 ) = 0, donc la fonction constante x → y 0 est solution sur R du problème
de Cauchy (z
= f (z), z(x 0 ) = y 0 ), et la fonction y également, donc par unicité, y
est constante (donc monotone).