312 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
Il en résulte que g est une solution de (E), et comme g(0) = 1 et g
(0) = 0, on a
g = J .
3) Soient (b n ) une suite de réels et a > 0 tels que, pour tout x ∈ ]−a, a[, on ait
f (x) =
+∞
n=0
b n x
n . On procède comme dans la question 1) : on cherche une série
entière
a n x
n dont la somme S soit solution de l’équation (E
). Les coefficients
a n doivent alors vérifier a 1 = b 0 , et, pour tout n ∈ N
∗ , (n + 1)
2 a n+1 + a n−1 = b n . Ces
relations déterminent de façon unique les termes d’une suite (a n ) : on peut en effet
choisir arbitrairement a 0 ∈ R, par exemple a 0 = 0, et si n 1 est un entier pour
lequel sont définis a 0 , . . . , a n , alors a n+1 est défini de façon unique par la relation
a n+1 =
b n − a n−1
(n + 1) 2 .
Il suffit alors de vérifier que le rayon de convergence de la série entière
a n x
n
est non nul. Pour cela commençons par démontrer que ∀n ∈ N, |a n |
n
p=0
|b p |.
L’inégalité est vérifiée pour n = 0 et n = 1. Pour un entier n 1, supposons la
vérifiée jusqu’à l’ordre n. On a alors
|a n+1 | (n + 1)
2
|a n+1 | |a n−1 | + |b n |
n−1
p=0
|b p | + |b n |
n
p=0
|b p |
n+1
p=0
|b p | .
L’inégalité est donc vérifiée à l’ordre n + 1, et elle est donc vérifiée pour tout n ∈ N.
Soit alors r un nombre réel tel que 0 < r < min(1, a). La suite (b n r
n ) est bornée, et
il existe donc un réel M tel que ∀ ∈ N, |b n |
M
r n . Il en résulte que
|a n | M
n
p=0
1
r p M
n
p=0
1
r n
(n + 1)M
r n
.
Comme le rayon de convergence de la série entière
(n + 1)M
r n
est égal à r , le
rayon de convergence de
a n x
n est r , et S est bien une solution développable
en série entière de (E
).