12.3 Exercices d’approfondissement 311
2. Montrer que J (x) =
1
p
p
0
cos(x sin u)du.
3. Soit f une fonction développable en série entière ; montrer qu’il existe des
solutions de (E
) x y
+ y
+ x y = f (x) développables en série entière.
1) Cherchons une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0 dont la
somme S soit solution de (E) sur I = ]−R, R[. On a alors, pour tout x ∈ I ,
S(x) =
+∞
n=0
a n x
n , S
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n , et S
(x) =
+∞
n=1
n(n + 1)a n+1 x
n−1 .
x S
(x) + S
(x) + x S(x) apparaît alors comme la somme d’une série entière dont le
coefficient constant est a 1 et où, pour n 1, le coefficient de x
n est
n(n + 1)a n+1 + (n + 1)a n+1 + a n−1 = (n + 1)
2 a n+1 + a n−1 .
L’unicité du développement en série entière montre alors que S est solution de (E)
si et seulement si a 1 = 0 et, pour tout n 1, (n + 1)
2 a n+1 + a n−1 = 0. On en
déduit par récurence que, pour tout p ∈ N, a 2 p+1 = 0 et a 2 p =
(−1)
p
4 p ( p!) 2 a 0 . Comme
a 2 p+2
a 2 p
=
1
4( p + 2) 2 → 0 quand p tend vers +∞, la règle de d’Alembert montre
que le rayon de convergence R est infini. En particulier, la solution J telle que
J (0) = a 0 = 1 est définie par :
∀x ∈ R, J (x) =
+∞
p=0
(−1)
p
4 p ( p!) 2 x
2 p
2) L’application w définie par w(x, u) = cos(x sin u) est de classe C
2 sur R
2 , et
on a |w(x, u)| 1,
∂w
∂x
(x, t)
1 et
∂
2 w
∂x 2 (x, t)
1 pour tout (x, t) ∈ R
2 . Les
hypothèses de domination du théorème de dérivation des intégrales dépendant d’un
paramètre sont ainsi vérifiées, et il en résulte que que l’application g définie sur R
par g(x) =
1
p
p
0
cos(x sin u)du est de classe C
2 sur R, et que pour tout x ∈ R,
g
(x) =
1
p
p
0
− sin u sin(x sin u)du et g
(x) =
1
p
p
0
− sin
2 u cos(x sin u)du
On a alors
xg
(x) + g
(x) + xg(x) =
1
p
p
0
x cos
2 u cos(x sin u) − sin u sin(x sin u)
du
=
1
p
p
0
cos u sin(x sin u)
du
=
cos u sin(x sin u)
u=p
u=0
= 0
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