310 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
Les fonctions f 1 : t →
1
2
e
−t
2 −t et f 2 : t →
1
2
e
−t
2 +t sont continues sur R, et négligeables devant la fonction t → e
−t
2 /2 au voisinage de ±∞. Elles sont donc intégrables sur R.
Posons
L 1 =
+∞
0
f 1 (t)dt, L 2 =
+∞
0
f 2 (t)dt, L
1 =
0
−∞
f 1 (t)dt et L
2 =
0
−∞
f 2 (t)dt.
Le changement de variable u = −t montre que L 1 = L
2 et L 2 = L
1 .
On a de plus y(x) =
a +
x
0
f 1 (t)dt
e
x +
b −
x
0
f 2 (t)dt
e
−x .
Si a = −L 1 , alors
a +
x
0
f 1 (t)dt
e
x tend vers l’infini quand x → +∞, tandis
que
b +
x
0
f 2 (t)dt
e
−x tend vers 0. Il en résulte que y(x) tend vers l’infini en
+∞, donc n’est pas bornée.
On voit de même (en étudiant la limite quand x tend vers −∞), que si b = −L
2 ,
alors y n’est pas bornée.
Montrons que la solution y 1 définie par
y(x) =
−L 1 +
x
0
f 1 (t)dt
e
x +
−L
2 −
x
0
f 2 (t)dt
e
−x
= −e
x
+∞
x
f 1 (t)dt − e
−x
x
−∞
f 2 (t)dt
est bornée.
Soit ´ > 0. Comme f 1 (t) = o(e
−t ) quand t tend vers +∞, il existe A > 0 tel que
∀t > A, f 1 (t) ´e
−t , d’où ∀x > A, e
x
+∞
x
f 1 (t)dt ´e
x
+∞
x
e
−t dt ´, donc
il en résulte que −e
x
+∞
x
f 1 (t)dt tend vers 0 quand x tend vers +∞, et donc que
y(x) tend vers 0 tend x tend vers +∞. On montre de la même manière que y(x) tend
vers 0 quand x tend vers −∞. (On voit d’ailleurs aisément que y est impaire).
Comme y est continue sur R et qu’elle admet des limites finies en +∞ et en −∞,
elle est bornée sur R, et c’est la seule d’après ce qui précède.
Exercice 12.25
(une équation de Bessel) Polytechnique PC 2005 K
On considère l’équation différentielle (E) : x y
+ y
+ x y = 0.
1. Trouver les solutions de (E) développables en série entière. Préciser la solution J telle que J (0) = 1.