316 Chap. 13. Équations différentielles non linéaires
3. En notant I
l’intervalle translaté de I par la valeur t 0 − t 1 , la fonction
t → (x(t + t 1 − t 0 ), y(t + t 1 − t 0 )) est une solution maximale du système sur
I
avec les mêmes conditions initiales en t 0 que la solution (x, y), donc par
unicité, I
= I et les deux solutions sont égales.
On en déduit que I = R et ∀t ∈ R, x(t + t 1 − t 0 ) = x(t), y(t + t 1 − t 0 ) = y(t),
donc x et y sont périodiques de période t 1 − t 0 .
Exercice 13.5
Résoudre le système différentiel suivant :
x
= x
2
y
= 2x y
Que dire des courbes intégrales ?
Le théorème de Cauchy-Lipschitz 2 s’applique, et du fait de l’invariance par translation, on se limite à l’étude du problème de Cauchy en (0, x 0 , y 0 ).
Si x 0 = 0, le couple de fonctions constantes t → (0, y 0 ) convient, donc par unicité
est la solution cherchée, sur R.
Si x 0 = 0, la fonction x ne s’annule pas (si elle s’annule en t 1 , elle est identiquement
nulle par unicité du problème de Cauchy en t 1 ). En notant I l’intervalle maximal, la
première équation, à variables séparables, s’intègre de la manière suivante :
∀t ∈ I , t =
x(t)
x 0
du
u 2 =
1
x 0
−
1
x(t)
, d’où x(t) =
x 0
1 − x 0 t
.
On reporte l’expression de x dans la deuxième équation, ce qui donne l’équation
linéaire y
=
2x 0
1 − x 0 t
y, qui se résout en y = y 0 e
t
0
2x 0
1−x 0 u du =
y 0
(1 − x 0 t) 2 .
L’intervalle maximal I est le plus grand intervalle ouvert contenant 0 sur lequel
1 − x 0 t ne s’annule pas, donc si x 0 > 0, alors I = ] −∞,
1
x 0
[ et si x 0 < 0, alors
I = ]
1
x 0
, +∞ [ .
Pour x 0 > 0, exprimons y en fonction de x. On obtient y =
y 0
x 2
0
x
2 , où x décrit
] 0, +∞ [ , donc la courbe intégrale est une demi parabole.
13.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 13.6
TPE PSI 2005
Soit y une fonction de classe C
1 de R + dans R telle que : y
= e
−y
−e
−3y +e
−5y .
Que dire de la limite de y en +∞ ?
3. En notant I
l’intervalle translaté de I par la valeur t 0 − t 1 , la fonction
t → (x(t + t 1 − t 0 ), y(t + t 1 − t 0 )) est une solution maximale du système sur
I
avec les mêmes conditions initiales en t 0 que la solution (x, y), donc par
unicité, I
= I et les deux solutions sont égales.
On en déduit que I = R et ∀t ∈ R, x(t + t 1 − t 0 ) = x(t), y(t + t 1 − t 0 ) = y(t),
donc x et y sont périodiques de période t 1 − t 0 .
Exercice 13.5
Résoudre le système différentiel suivant :
x
= x
2
y
= 2x y
Que dire des courbes intégrales ?
Le théorème de Cauchy-Lipschitz 2 s’applique, et du fait de l’invariance par translation, on se limite à l’étude du problème de Cauchy en (0, x 0 , y 0 ).
Si x 0 = 0, le couple de fonctions constantes t → (0, y 0 ) convient, donc par unicité
est la solution cherchée, sur R.
Si x 0 = 0, la fonction x ne s’annule pas (si elle s’annule en t 1 , elle est identiquement
nulle par unicité du problème de Cauchy en t 1 ). En notant I l’intervalle maximal, la
première équation, à variables séparables, s’intègre de la manière suivante :
∀t ∈ I , t =
x(t)
x 0
du
u 2 =
1
x 0
−
1
x(t)
, d’où x(t) =
x 0
1 − x 0 t
.
On reporte l’expression de x dans la deuxième équation, ce qui donne l’équation
linéaire y
=
2x 0
1 − x 0 t
y, qui se résout en y = y 0 e
t
0
2x 0
1−x 0 u du =
y 0
(1 − x 0 t) 2 .
L’intervalle maximal I est le plus grand intervalle ouvert contenant 0 sur lequel
1 − x 0 t ne s’annule pas, donc si x 0 > 0, alors I = ] −∞,
1
x 0
[ et si x 0 < 0, alors
I = ]
1
x 0
, +∞ [ .
Pour x 0 > 0, exprimons y en fonction de x. On obtient y =
y 0
x 2
0
x
2 , où x décrit
] 0, +∞ [ , donc la courbe intégrale est une demi parabole.
13.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 13.6
TPE PSI 2005
Soit y une fonction de classe C
1 de R + dans R telle que : y
= e
−y
−e
−3y +e
−5y .
Que dire de la limite de y en +∞ ?