12.2 Exercices d’entraînement 305
Exercice 12.20
Centrale PSI 2005 K
1) Résoudre l’équation différentielle (E 1 ) : y
+ y = cos nx.
2) Soit
a n une série absolument convergente.
Résoudre l’équation différentielle (E 2 ) : y
+ y =
+∞
n=1
a n cos nx.
1) Les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions de la forme
y : x → a cos x + b sin x.
Lorsque n = 1, la fonction f 0 : x →
1
n 2 − 1
cos nx est une solution particulière
de l’équation complète. Les solutions de (E 1 ) sont donc les fonctions de la forme
y : x → a cos x + b sin x +
1
n 2 − 1
cos nx, où a et b sont des constantes réelles arbitraires.
Dans le cas n = 1 (où il y a résonance), on cherche une solution particulière de
la forme f 0 (x) = x(A sin x + B cos x). On peut simplifier un peu les calculs en
remarquant que la partie paire de f 0 est elle aussi une solution de (E 1 ) ; on peut donc
chercher f 0 de la forme x → Ax sin x. On obtient facilement A =
1
2
.
Les solutions sont donc les fonctions y telles que
∀x ∈ R, y(x) =
x
2
sin x + a cos x + b sin x
où a et b sont des constantes réelles.
2) Pour tout n 2, notons u n la fonction définie sur R par u n (x) =
a n
n 2 − 1
cos nx.
u n est de classe C
2 sur R, et pour tout x ∈ R, on a
u
n (x) = −
na n
n 2 − 1
sin nx et u
n (x) = −
n
2 a n
n 2 − 1
cos nx.
Les suites
|a n |
n 2 − 1
,
|na n |
n 2 − 1
et
n
2 a n
n 2 − 1
sont dominées par la suite (|a n |).
Il en résulte que les séries de fonctions
u n ,
u
n et
u
n sont normalement convergentes sur R. La fonction S =
+∞
n=2
u n est donc de classe C
2 sur R, et
∀x ∈ R, S
(x) =
+∞
n=2
u
n (x) = −
+∞
n=2
n
2 u n (x).
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