304 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
Elles sont linéairement indépendantes sur C puisque la matrice du système (u 1 , u 2 )
dans la base (y 1 , y 2 ) :
1
2
1 −i
1
i
est inversible (son déterminant est égal à
i
2
).
Elle sont donc aussi linéairement indépendantes sur R, et forment donc une base de
l’espace vectoriel S R des solutions de (E) à valeurs réelles.
Les solutions réelles de (E) définies sur R
∗
+ sont donc les fonctions définies par
∀x ∈ R, y(x) =
√
x
a cos
√
3
2
ln x
+ b sin
√
3
2
ln x
où a et b sont deux nombres réels.
2) Soit f une fonction de classe C
1 sur R
∗
+ telles que f
(x) = f
1
x
.
La fonction f
est la composée de deux fonctions de classe C
1 : elle est donc de
classe C
1 . Il en résulte que f est de classe C
2 et on a
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) = −
1
x 2 f
1
x
= −
1
x 2 f (x).
La fonction f est donc une solution de l’équation différentielle (E) x
2 y
+ y = 0, et
il existe donc des constantes réelles A et B telles que :
f (x) =
√
x
A cos
√
3
2
ln x
+ B sin
√
3
2
ln x
.
Il s’agit maintenant de vérifier dans l’équation initiale :
f
(x) =
1
√
x
A
2
+
B
√
3
2
cos
√
3
2
ln x
+
B
2
−
A
√
3
2
sin
√
3
2
ln x
f
1
x
=
1
√
x
A cos
√
3
2
ln x
− B sin
√
3
2
ln x
En prenant en particulier la valeur x = x 0 telle que
√
3
2
ln(x 0 ) = p, puis la valeur
x = x 1 telle que
√
3
2
ln(x 1 ) =
p
2
, on voit que la relation f
(x) = f
1
x
équivaut
à
A
2
+
B
√
3
2
= A et
B
2
−
A
√
3
2
= −B, c’est-à-dire à A = B
√
3. les fonctions
cherchées sont donc les fonctions de R
∗
+ dans R telles que
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = B
√
x
√
3 cos
√
3
2
ln x
+ sin
√
3
2
ln x
= 2B
√
x cos
√
3
2
ln x −
p
6
.