12.2 Exercices d’entraînement 303
On calcule Y
1 (x) =
2
(x − 1) 2 et Y
2 (x) =
−2
(x + 1) 2 . On a donc lim
x→0 −
Y
1 (x) = 2 et
lim
x→0 +
Y
2 (x) = −2, de sorte que les solutions Y 1 et Y 2 ne se raccordent pas en tant que
fonctions de classe C
1 . Il n’y a donc pas de solution définie sur R.
Exercice 12.19
Mines-Ponts PSI 2006
1) Résoudre sur R
∗
+ l’équation différentielle (E) : x
2 y
+ y = 0.
Indication de la rédaction : chercher des solutions de la forme x → x
a = e
a ln x
où a ∈ C.
2) En déduire les fonctions de classe C
1 sur R
∗
+ telles que
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) = f
1
x
.
1) (E) est une équation d’Euler que l’on peut résoudre avec la méthode exposée dans
l’exercice 12.10, ou en cherchant une solution sous la forme y(x) = x
a . On a alors
y
(x) = ax
a−1 et y
(x) = a(a − 1)x
a−2 .
Il en résulte que y est solution de (E) si et seulement si a(a−1)+1 = a
2
−a+1 = 0.
Le polynôme a
2
− a + 1 admet deux racines complexes :
a 1 =
1
2
+ i
√
3
2
et a 2 =
1
2
− i
√
3
2
.
On obtient ainsi deux solutions (à valeurs complexes) de (E) définies sur R
∗
+ :
y 1 (x) = e
a 1 ln x =
√
x
cos
√
3
2
ln x
+ i sin
√
3
2
ln x
y 2 (x) = e
a 2 ln x =
√
x
cos
√
3
2
ln x − i sin
√
3
2
ln x
.
Ces solutions sont linéairement indépendantes puisque leur Wronskien vérifie
W (1) = y 1 (1)y
2 (1) − y
1 (1)y 2 (1) = a 1 a 2 = 1 = 0.
Elles forment donc une base de l’espace vectoriel S C des solutions de (E) à valeurs
complexes.
u 1 =
y 1 + y 2
2
= Re(y 1 ) et u 2 =
y 1 − y 2
2i
= Im(y 1 ) sont alors des solutions à valeurs
réelles :
∀x ∈ R
∗
+ , u 1 (x) =
√
x cos
√
3
2
ln x
, et u 2 (x) =
√
x sin
√
3
2
ln x
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