302 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
Exercice 12.18
Saint-Cyr PC 2006
Résoudre avec Maple x(x
2
− 1)y
+ (x
2 + 1)y + 2x
2 = 0. Donner les solutions
sur R.
Avec Maple, la commande
> dsolve(x*(x*x-1))(diff(y(x),x)+(x*x+1)*y(x)+2*x*x,y(x))
donne y(x) =
x(a − 2x)
x 2 − 1
où a est une constante réelle.
Il faut en réalité se placer sur des intervalles où la fonction x → x(x
2
−1) ne s’annule
pas, et on obtient donc quatre familles de solutions :
• Les fonctions de la forme y 1 (x) =
x(a 1 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 1 = ]−∞, −1[,
• Les fonctions de la forme y 2 (x) =
x(a 2 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 2 = ]−1, 0[,
• Les fonctions de la forme y 3 (x) =
x(a 3 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 3 = ]0, 1[,
• Les fonctions de la forme y 4 (x) =
x(a 4 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 4 = ]1, +∞[,
où a 1 , a 2 , a 3 et a 4 sont quatre constantes réelles arbitraires.
Etudions le raccordement éventuel en −1 d’une solution y 1 définie sur I 1 avec une
solution y 2 définie sur I 2 . Si a 1 est différent de −2, alors
x(a 1 − 2x)
x 2 − 1
n’a pas de limite
finie quand x vers −1
− , et y 1 ne peut pas être prolongée en −1. On voit de même
que si a 2 = −2, alors y 2 ne peut pas être prolongée en −1.
En revanche si a 1 = a 2 = −2, on a y 1 (x) =
−2x
x − 1
pour tout x ∈ I 1 et y 2 (x) =
−2x
x − 1
pour tout x ∈ I 2 , de sorte que la fonction définie par Y 1 (x) =
−2x
x − 1
pour tout
x ∈ ]−∞, 0[ est de classe C
1 et c’est une solution de E.
On démontre avec le même raisonnement que la fonction définie par Y 2 (x) =
−2x
x + 1
est l’unique solution de (E) sur l’intervalle ]0, +∞[.
Pour finir nous devons étudier le raccordement éventuel de Y 1 et de Y 2 en 0.
On observe d’abord que lim
x→0 −
Y 1 (x) = 0 = lim
x→0 +
Y 1 (x) et nous devons également
étudier les limites de Y
1 et Y
2 en 0.
Exercice 12.18
Saint-Cyr PC 2006
Résoudre avec Maple x(x
2
− 1)y
+ (x
2 + 1)y + 2x
2 = 0. Donner les solutions
sur R.
Avec Maple, la commande
> dsolve(x*(x*x-1))(diff(y(x),x)+(x*x+1)*y(x)+2*x*x,y(x))
donne y(x) =
x(a − 2x)
x 2 − 1
où a est une constante réelle.
Il faut en réalité se placer sur des intervalles où la fonction x → x(x
2
−1) ne s’annule
pas, et on obtient donc quatre familles de solutions :
• Les fonctions de la forme y 1 (x) =
x(a 1 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 1 = ]−∞, −1[,
• Les fonctions de la forme y 2 (x) =
x(a 2 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 2 = ]−1, 0[,
• Les fonctions de la forme y 3 (x) =
x(a 3 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 3 = ]0, 1[,
• Les fonctions de la forme y 4 (x) =
x(a 4 − 2x)
x 2 − 1
sur l’intervalle I 4 = ]1, +∞[,
où a 1 , a 2 , a 3 et a 4 sont quatre constantes réelles arbitraires.
Etudions le raccordement éventuel en −1 d’une solution y 1 définie sur I 1 avec une
solution y 2 définie sur I 2 . Si a 1 est différent de −2, alors
x(a 1 − 2x)
x 2 − 1
n’a pas de limite
finie quand x vers −1
− , et y 1 ne peut pas être prolongée en −1. On voit de même
que si a 2 = −2, alors y 2 ne peut pas être prolongée en −1.
En revanche si a 1 = a 2 = −2, on a y 1 (x) =
−2x
x − 1
pour tout x ∈ I 1 et y 2 (x) =
−2x
x − 1
pour tout x ∈ I 2 , de sorte que la fonction définie par Y 1 (x) =
−2x
x − 1
pour tout
x ∈ ]−∞, 0[ est de classe C
1 et c’est une solution de E.
On démontre avec le même raisonnement que la fonction définie par Y 2 (x) =
−2x
x + 1
est l’unique solution de (E) sur l’intervalle ]0, +∞[.
Pour finir nous devons étudier le raccordement éventuel de Y 1 et de Y 2 en 0.
On observe d’abord que lim
x→0 −
Y 1 (x) = 0 = lim
x→0 +
Y 1 (x) et nous devons également
étudier les limites de Y
1 et Y
2 en 0.