12.2 Exercices d’entraînement 301
• Cherchons une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0 dont la
somme S est solution de (E) sur I = ]−R, R[. On a alors, pour tout x ∈ I ,
S(x) =
+∞
n=0
a n x
n , S
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n , et S
(x) =
+∞
n=1
n(n + 1)a n+1 x
n−1 .
x S
(x) + 2S
(x) + x S(x) apparaît alors comme la somme d’une série entière
dont le coefficient constant est 2a 1 et où, pour n 1, le coefficient de x
n est
n(n+1)a n+1 +2(n+1)a n+1 +a n−1 = (n+2)(n+1)a n+1 +a n−1 . L’unicité du développement
en série entière donne alors a 1 = 0 et, pour tout n 1, (n + 2)(n + 1)a n+1 + a n−1 = 0.
On en déduit aisément, par récurrence sur p ∈ N, a 2 p+1 = 0 et a 2 p =
(−1)
p
(2 p + 1)!
a 0 .
Comme
a 2 p+2
a 2 p
=
1
(2 p + 3)(2 p + 2)
− −−− →
p→∞
0, la règle de d’Alembert montre que le
rayon de convergence est infini.
On a donc ∀x ∈ R, S(x) = a 0
⎛
⎝
+∞
p=0
(−1)
p x
2 p
(2 p + 1)!
⎞
⎠ =
⎧
⎨
⎩
a 0
sin x
x
si x ∈ R
∗
a 0
si x = 0
• Le théorème de Cauchy montre que l’équation possède des solutions (maximales)
sur l’un ou l’autre des intervalles I 1 = R
∗
− et I 2 = R
∗
+ .
Déterminons les solutions à l’aide du changement de fonction inconnue z = x y. Si
y est de classe C
2 sur l’un de ces intervalles, alors z : x → x y(x) est aussi de classe
C
2 , et on a z
= y + x y
, z
= 2y
+ x y
, d’où x y
+ 2y
+ x y = z
+ z. Ainsi y est
solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle z
+ z = 0.
On en déduit que les solutions de (E) sur I 1 (ou I 2 ) sont les fonctions y telles que
y(x) = a
sin x
x
+ b
cos x
x
où a et b sont des constantes réelles.
Si b est non nul, alors y(x) n’a pas de limite finie en 0, et il n’est pas possible de
prolonger la solution y à un intervalle contenant strictement I 1 (ou I 2 ).
Supposons maintenant b = 0, et étudions le raccordement éventuel d’une solution y 1 (x) = a 1
sin x
x
sur I 1 et d’une solution y 2 (x) = a 2
sin x
x
sur I 2 . On a alors
lim
x→0 −
y 1 (x) = a 1 et lim
x→0 −
y 2 (x) = a 2 . Si y 1 et y 2 sont les restrictions d’une solution
y définie sur R, alors a 1 = a 2 , et y est l’une des solutions développables en série
entière.
Récapitulons : Les solutions maximales de (E) sont :
• y : x → a
sin x
x
+ b
cos x
x
((a, b) ∈ R × R
∗ ) sur I 1 (ou sur I 2 ).
• y : x → a
sin x
x
(a ∈ R) sur R.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
• Cherchons une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0 dont la
somme S est solution de (E) sur I = ]−R, R[. On a alors, pour tout x ∈ I ,
S(x) =
+∞
n=0
a n x
n , S
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n , et S
(x) =
+∞
n=1
n(n + 1)a n+1 x
n−1 .
x S
(x) + 2S
(x) + x S(x) apparaît alors comme la somme d’une série entière
dont le coefficient constant est 2a 1 et où, pour n 1, le coefficient de x
n est
n(n+1)a n+1 +2(n+1)a n+1 +a n−1 = (n+2)(n+1)a n+1 +a n−1 . L’unicité du développement
en série entière donne alors a 1 = 0 et, pour tout n 1, (n + 2)(n + 1)a n+1 + a n−1 = 0.
On en déduit aisément, par récurrence sur p ∈ N, a 2 p+1 = 0 et a 2 p =
(−1)
p
(2 p + 1)!
a 0 .
Comme
a 2 p+2
a 2 p
=
1
(2 p + 3)(2 p + 2)
− −−− →
p→∞
0, la règle de d’Alembert montre que le
rayon de convergence est infini.
On a donc ∀x ∈ R, S(x) = a 0
⎛
⎝
+∞
p=0
(−1)
p x
2 p
(2 p + 1)!
⎞
⎠ =
⎧
⎨
⎩
a 0
sin x
x
si x ∈ R
∗
a 0
si x = 0
• Le théorème de Cauchy montre que l’équation possède des solutions (maximales)
sur l’un ou l’autre des intervalles I 1 = R
∗
− et I 2 = R
∗
+ .
Déterminons les solutions à l’aide du changement de fonction inconnue z = x y. Si
y est de classe C
2 sur l’un de ces intervalles, alors z : x → x y(x) est aussi de classe
C
2 , et on a z
= y + x y
, z
= 2y
+ x y
, d’où x y
+ 2y
+ x y = z
+ z. Ainsi y est
solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle z
+ z = 0.
On en déduit que les solutions de (E) sur I 1 (ou I 2 ) sont les fonctions y telles que
y(x) = a
sin x
x
+ b
cos x
x
où a et b sont des constantes réelles.
Si b est non nul, alors y(x) n’a pas de limite finie en 0, et il n’est pas possible de
prolonger la solution y à un intervalle contenant strictement I 1 (ou I 2 ).
Supposons maintenant b = 0, et étudions le raccordement éventuel d’une solution y 1 (x) = a 1
sin x
x
sur I 1 et d’une solution y 2 (x) = a 2
sin x
x
sur I 2 . On a alors
lim
x→0 −
y 1 (x) = a 1 et lim
x→0 −
y 2 (x) = a 2 . Si y 1 et y 2 sont les restrictions d’une solution
y définie sur R, alors a 1 = a 2 , et y est l’une des solutions développables en série
entière.
Récapitulons : Les solutions maximales de (E) sont :
• y : x → a
sin x
x
+ b
cos x
x
((a, b) ∈ R × R
∗ ) sur I 1 (ou sur I 2 ).
• y : x → a
sin x
x
(a ∈ R) sur R.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit