300 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
En particulier pout t = 0, on obtient V = AU , et donc X (t) = cos t.U + sin t.AU .
Réciproquement si U ∈ M 2n,1 (R), alors la fonction t → cos t.U + sin t.AU est de
classe C
1 sur R et vérifie AX(t) = cos t.AU +sin t.A
2 U = cos t.AU −sin t.U = X
(t).
Les solutions sont donc toutes les fonctions X telles que
∀t ∈ R, X (t) = cos t.U + sin t.AU
où U est un élément arbitraire de M 2n,1 (R).
Exercice 12.16
TPE PSI 2007
On désigne par F l’espace vectoriel des fonctions de classe C
∞ de R dans R. Si
u est un élément de F, on note L u l’endomorphisme de F défini par :
∀y ∈ F, L u (y) = y
+ uy.
1) Soit u ∈ F. Déterminer l’endomorphisme L u ◦ L u .
2) Résoudre l’équation différentielle (E) : y
+ 2 tanh x y
+ y = 0.
1) Soit y ∈ F. On a (L u ◦ L u )(y) = L u (y
+ uy) = y
+ 2uy
+ (u
+ u
2 )y.
2) On montre facilement par récurrence sur n que les solutions de (E) sont de classe
C
n pour tout n, donc appartiennent à F. Prenons u : x → tanh x. C’est un élément de
F, et pour tout x ∈ R, on a u
(x) + u
2 (x) =
1
ch
2 x
+
sh
2 x
ch
2 x
= 1. Les solutions de (E)
sont donc les fonctions y de F qui appartiennent au noyau de L u ◦ L u . Le noyau de
L u est formé des solutions de l’équation différentielle z
= −z tanh x, c’est-à-dire les
fonctions de la forme x →
l
ch x
où l est une constante réelle. Les solutions de (E)
sont alors les solutions de l’équation différentielle y
+ y tanh x =
l
ch x
. Elles sont de
la forme y : x →
A(x)
ch x
où A est une fonction de classe C
1 telle que
A
(x)
ch x
=
l
ch x
,
c’est-à-dire A
(x) = l, et donc A(x) = lx +m où m est une constante réelle. Les solutions de (E) sont donc les fonctions y telles que, pour tout x ∈ R, y(x) =
lx + m
ch x
,
avec (l, m) ∈ R
2 .
Exercice 12.17
ENSEA PSI 2006 K
Trouver les solutions de l’équation différentielle (E) x y
+2y
+ x y = 0 développables en série entière au voisinage de 0, puis les solutions maximales de cette
équation.