12.2 Exercices d’entraînement 299
On a donc l
(t) =
1
2
(−e
−t + 1 − te
−t ). On en déduit que l(t) =
1
2
(t + (t + 2)e
−t + a)
où a est une constante réelle, puis y 1 (t) =
1
2
(t + a)e
2t +
1
2
(t + 2)e
t .
On obtient par des calculs analogues :
y 2 (t) =
1
18
(3t − 2)e
t +
1
4
e
2t + be
4t
où b est une constante réelle arbitraire, puis
y 3 (t) = −
1
50
(6 + 5t)e
t
−
1
4
e
2t + ce
6t
où c est une constante réelle arbitraire.
On a pour finir X = PY .
Remarque : les étudiants de la filière PSI disposent d’une autre méthode pour la
résolution de l’équation complète. En effet, la diagonalisation de la matrice A montre
qu’un système fondamental de l’équation homogène X
= AX est formé par les
fonctions U , V et W , définies sur R, par U (t) = e
2t u, V (t) = e
4t
v et W (t) = e
6t
w,
où u, v et w sont les colonnes de la matrice P. La méthode de variation des constantes
montre alors que les solutions de l’équation complète sont les fonctions de la forme
lU + mV + nW , où l, m et n sont des fonctions numériques de classe C
1 sur R telles
que l
U + m
V + n
W = B.
Exercice 12.15
CCP PC 2004
Soit A ∈ M 2n (R) telle que A
2 + I 2n = 0. Résoudre le système différentiel
d X
dt
= AX(t) .
Notons que si X : R → M 2n,1 (R) est une fonction de classe C
1 telle que
d X
dt
= AX,
alors X est de classe C
2 et vérifie
d
2 X
dt 2 = A
2 X = −X .
Les composantes x i (i = 1 . . . 2n) de X vérifient donc x
i = −x i , et on en déduit
qu’il existe des constantes réelles u i et v i tels que
∀t ∈ R, x i (t) = u i cos t + v i sin t.
En posant U =
⎡
⎢
⎣
u 1
. . .
u 2n
⎤
⎥
⎦ et V =
⎡
⎢
⎣
v 1
. . .
v 2n
⎤
⎥
⎦, on a ∀t ∈ R, X (t) = cos t.U + sin t.V .
On a alors X
(t) = − sin t.U + cos t.V , et la relation X
= AX s’écrit
− sin t.U + cos t.V = cos t.AU + sin t.AV .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
On a donc l
(t) =
1
2
(−e
−t + 1 − te
−t ). On en déduit que l(t) =
1
2
(t + (t + 2)e
−t + a)
où a est une constante réelle, puis y 1 (t) =
1
2
(t + a)e
2t +
1
2
(t + 2)e
t .
On obtient par des calculs analogues :
y 2 (t) =
1
18
(3t − 2)e
t +
1
4
e
2t + be
4t
où b est une constante réelle arbitraire, puis
y 3 (t) = −
1
50
(6 + 5t)e
t
−
1
4
e
2t + ce
6t
où c est une constante réelle arbitraire.
On a pour finir X = PY .
Remarque : les étudiants de la filière PSI disposent d’une autre méthode pour la
résolution de l’équation complète. En effet, la diagonalisation de la matrice A montre
qu’un système fondamental de l’équation homogène X
= AX est formé par les
fonctions U , V et W , définies sur R, par U (t) = e
2t u, V (t) = e
4t
v et W (t) = e
6t
w,
où u, v et w sont les colonnes de la matrice P. La méthode de variation des constantes
montre alors que les solutions de l’équation complète sont les fonctions de la forme
lU + mV + nW , où l, m et n sont des fonctions numériques de classe C
1 sur R telles
que l
U + m
V + n
W = B.
Exercice 12.15
CCP PC 2004
Soit A ∈ M 2n (R) telle que A
2 + I 2n = 0. Résoudre le système différentiel
d X
dt
= AX(t) .
Notons que si X : R → M 2n,1 (R) est une fonction de classe C
1 telle que
d X
dt
= AX,
alors X est de classe C
2 et vérifie
d
2 X
dt 2 = A
2 X = −X .
Les composantes x i (i = 1 . . . 2n) de X vérifient donc x
i = −x i , et on en déduit
qu’il existe des constantes réelles u i et v i tels que
∀t ∈ R, x i (t) = u i cos t + v i sin t.
En posant U =
⎡
⎢
⎣
u 1
. . .
u 2n
⎤
⎥
⎦ et V =
⎡
⎢
⎣
v 1
. . .
v 2n
⎤
⎥
⎦, on a ∀t ∈ R, X (t) = cos t.U + sin t.V .
On a alors X
(t) = − sin t.U + cos t.V , et la relation X
= AX s’écrit
− sin t.U + cos t.V = cos t.AU + sin t.AV .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit