298 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
La dernière équation montre que y 3 (t) = ae
t où a est une constante réelle. La
seconde équation s’écrit alors y
2 = y 2 + 2ae
t . Ses solutions sont de la forme
y 2 (t) = (2at + b)e
t où b est une constante réelle. Enfin y 1 est solution de l’équation
différentielle y
1 = y 1 + (2at + b − a)e
t , et on obtient y 1 (t) =
at
2 + (b − a)t + c
,
où c est une constante réelle arbitraire.
On en déduit :
⎡
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
⎤
⎦ =
⎡
⎣
1
1 1
−1 −1 0
−1
0 0
⎤
⎦
⎡
⎣
at
2 + (b − a)t + c
e
t
(2at + b)e
t
ae
t
⎤
⎦ = e
t
⎡
⎣
at
2 + (a + b)t + a + b + c
−at
2
− (a + b)t − b − c
−at
2
− (b − a)t − c
⎤
⎦ .
Exercice 12.14
TPE PC, PSI 2005 K
Résoudre (E) : X
(t) = AX + B avec A =
⎡
⎣
5
1 −1
2
4 −2
1 −1
3
⎤
⎦ et B =
⎡
⎣
e
t
e
2t
−te
t
⎤
⎦ .
Il s’agit d’un système différentiel linéaire à coefficients constants.
En utilisant un logiciel de calcul formel, on obtient que A est diagonalisable, et
A = P D P
−1 avec D =
⎡
⎣
2 0 0
0 4 0
0 0 6
⎤
⎦ et P =
⎡
⎣
0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎤
⎦ .
Effectuons le changement de fonction inconnue Y = P
−1 X . Le système s’écrit alors
Y
= P
−1 X
= P
−1 AX + P
−1 B = P
−1 APY + P
−1 B = DY + P
−1 B .
En posant Y =
⎡
⎣
y 1
y 2
y 3
⎤
⎦ , ce dernier système s’écrit
∀t ∈ R
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
y
1 (t) = 2y 1 (t) +
1
2
(−e
t + e
2t
− te
t )
y
2 (t) = 4y 2 (t) +
1
2
(e
t
− e
2t
− te
t )
y
3 (t) = 6y 3 (t) +
1
2
(e
t + e
2t + te
t )
On obtient trois équations différentielles linéaires du premier ordre, à coefficients
constants.
Indiquons le détail de la résolution de la première équation : les solutions de
l’équation homogène sont les fonctions de la forme y 1 (t) = le
2t , où l est une
constante réelle. Les solutions de l’équation complète sont alors les fonctions
de la forme y 1 (t) = l(t)e
2t où l est une fonction de classe C
1 sur R telle que
l
(t)e
2t =
1
2
(−e
t + e
2t
− te
t ).