12.2 Exercices d’entraînement 297
Les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions X de R dans E définies
par X (t) = x(t) i + y(t)j + z(t)k avec x
= −ay, y
= ax, z
= 0.
On a donc z = h, où h est une constante réelle. (Cela signifie que les courbes intégrales sont situées dans des plans parallèles au plan x Oy).
Les relations x
= −ay et y
= ax montrent que x est de classe C
2 et est solution de l’équation différentielle du second ordre x
= −a
2 x : il existe donc des
constantes réelles A et B telles que ∀t ∈ R, x(t) = A cos at + B sin at. On a alors
y(t) = −
1
a
x
(t) = A sin at − B cos at.
En écrivant le nombre complexe A + i B sous forme trigonométrique, on voit
qu’il existe un nombre réel positif r et un nombre réel w tels que A = r cos w et
B = r sin w, et on a donc x(t) = r cos(at − w) et y(t) = r sin(at − w).
Les courbes intégrales sont donc des cercles d’axe Oz.
Exercice 12.13
D’après Mines Ponts 2006
Résoudre dans R
3 le système différentiel (E) :
d X
dt
= AX, avec A =
⎡
⎣
2 0
1
−1 1 −1
1 2
0
⎤
⎦ .
Pour gagner du temps, on utilisera sans démonstration les résultats suivants : le
polynôme caractéristique de A est x A (l) = (1 − l)
3 ; A est donc trigonalisable
dans M 3 (R) : A = PT P
−1 , avec
T =
⎡
⎣
1 1 −1
0 1
2
0 0
1
⎤
⎦ , P =
⎡
⎣
1
1 1
−1 −1 0
−1
0 0
⎤
⎦ , P
−1 =
⎡
⎣
0
0 −1
0 −1
1
1
1
0
⎤
⎦
Soit X : t → X (t) =
⎡
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
⎤
⎦ une fonction de classe C
1 de R dans M 3 (R).
Y = P
−1 X est également de classe C
1 , et elle vérifie Y
= P
−1 X
. Pour que X
soit solution de (E), il faut et il suffit que X
= PY
= AX = APY , c’est-à-dire
que Y soit solution de Y
= P
−1 APY = T Y . En posant Y =
⎡
⎣
y 1
y 2
y 3
⎤
⎦ , on obtient
⎧
⎨
⎩
y
1 = y 1 + y 2 − y 3
y
2 =
y 2 + 2y 3
y
3 =
y 3
Il s’agit d’un système différentiel linéaire triangulaire.
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