296 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
On cherche une solution particulière de la forme y 0 (t) = Ce
at , avec C ∈ R. On a
alors y
0 (t) + y 0 (t) = C(1 + a
2 )e
at , et on obtient donc y 0 (t) =
1
1 + a 2 e
at .
Les solutions de (E 1 ) sont donc toutes les fonctions définies sur R par
∀t ∈ R, y(t) = A cos t + B sin t +
1
1 + a 2 e
at .
Les solutions de (E) sont alors les solutions de l’équation différentielle
(E 2 ) : x
+ x = A cos t + B sin t +
e
at
1 + a 2 . Les solutions de l’équation homogène
sont ici les fonctions définies sur R par x(t) = Ce
−t (C ∈ R).
Cherchons une solution particulière x 1 de l’équation x
+ x = A cos t + B sin t de la
forme x 1 (t) = a cos t + b sin t. On a alors x
1 (t) + x 1 (t) = (a + b) cos t + (−a + b) sin t,
d’où a =
A − B
2
, b =
A + B
2
, et x 1 (t) =
A − B
2
cos t +
A + B
2
sin t.
Cherchons de même une solution particulière x 2 de l’équation x
+ x =
1
1 + a 2 e
at .
Lorsque a = −1, on cherche x 2 telle que x 2 (t) = ce
at . On a alors c(1 + a) =
1
1 + a 2 ,
d’où x 2 (t) =
1
(1 + a)(1 + a 2 )
e
at .
Lorsque a = −1, on cherche une solution telle que x 2 (t) = dte
−t . On a alors
x
2 (t) + x 2 (t) = de
−t , d’où d =
1
2
et x 2 (t) =
te
−t
2
.
Par superposition on en déduit la solution générale de l’équation (E) :
Si a = −1, x(t) = Ce
−t +
A − B
2
cos t +
A + B
2
sin t +
1
(1 + a)(1 + a 2 )
e
at .
Si a = −1, x(t) = Ce
−t +
A − B
2
cos t +
A + B
2
sin t +
te
−t
2
.
où A, B, C sont trois constantes réelles.
Exercice 12.12
Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, et soit K un vecteur
non nul de E. Quelles sont les courbes intégrales de l’équation différentielle
X
= K ∧ X ?
Posons a = K , et choisissons une base orthonormale directe (i, j, k) telle que
k =
1
a
K . L’application X → K ∧ X est une application linéaire dont la matrice dans
la base B est
⎛
⎝
0 −a 0
a
0 0
0
0 0
⎞
⎠ .