12.2 Exercices d’entraînement 295
2. Le changement de variable précédent transforme l’équation (E) en
z
(t) + z(t) = sin(at).
Les solutions de l’équation homogène z
(t)+z(t) = 0 sont les fonctions de R dans
R définies par z(t) = A cos t + B sin t, où A et B sont deux constantes réelles. Pour
la résolution de l’équation complète distinguons trois cas :
• Cas où a /
∈ {−1, 1}. On observe que la fonction z 0 définie sur R par
z 0 (t) =
1
1 − a 2 sin(at) est une solution particulière de l’équation complète.
• Cas où a = 1. Il est bien connu que z 0 : t → −
1
2
t cos t est une solution particulière de l’équation complète (résonance).
• Cas où a = −1. Une solution particulière de l’équation complète est ici
z 0 : t →
1
2
t cos t.
Dans tous les cas les solutions de l’équation complète sont de la forme
z(t) = A cos t + B sin t + z 0 (t).
Les solutions sur ]0, +∞[ de (E) sont donc de la forme :
• y(x) = A cos(ln x) + B sin(ln x) +
1
1 − a 2 sin(a ln x) si a /
∈ {−1, 1},
• y(x) = ( A −
1
2
ln x) cos(ln x) + B sin(ln x) si a = 1,
• y(x) = ( A +
1
2
ln x) cos(ln x) + B sin(ln x) si a = −1.
où A et B désignent des constantes réelles.
Exercice 12.11
TPE PC 2006
Soit a un nombre réel. Résoudre l’équation différentielle
(E) : x
+ x
+ x
+ x = e
at .
Indication de la rédaction : On pourra faire le changement de fonction inconnue
y = x + x
.
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 3, que nous allons résoudre à
l’aide du changement de fonction inconnue y = x + x
. Nous sommes ainsi ramenés
à l’équation différentielle du second ordre (E 1 ) : y
+ y = e
at .
Les solutions de l’équation homogène y
+ y = 0 sont les fonctions y de R dans R
définie par y(t) = A cos t + B sin t, où A et B sont deux constantes réelles.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit