294 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
Les solutions de S sont donc les fonctions X =
x
y
de R dans R
2 telles que
∀t ∈ R,
x(t)
y(t)
=
e
t (a cos(t
2 /2) − b sin(t
2 /2))
e
t (b cos(t
2 /2) + a sin(t
2 /2))
= ae
t
cos(t
2 /2)
sin(t
2 /2)
+ be
t
− sin(t
2 /2)
cos(t
2 /2)
.
Les fonctions X 1 : t → e
t
cos(t
2 /2)
sin(t
2 /2)
et X 2 : t → e
t
− sin(t
2 /2)
cos(t
2 /2)
forment un
système générateur de l’espace vectoriel S des solutions à valeurs réelles. Comme S
est un espace vectoriel de dimension 2, elles forment une base de S.
12.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
De nombreux exercices de concours portent sur la résolution des équations d’Euler :
il s’agit d’équations différentielles de la forme ax
2 y
(x) + bx y
(x) + cy(x) = d(x),
où a, b et c sont des constantes réelles ou complexes.
Exercice 12.10
CCP PC 2006
Soient (a, b, c) ∈ R
∗
× R
2 . On se propose de déterminer les solutions de l’équation différentielle (1) ax
2 y
(x) + bx y
(x) + cy(x) = 0 définies sur ]0, +∞[.
1. Justifier le changement de variable t = ln x et indiquer comment il permet de
résoudre (1).
2. Résoudre sur R
∗
+ , selon les valeurs de a :
x
2 y
(x) + x y
(x) + y(x) = sin(a ln x).
(E)
1. La fonction logarithme est un difféomorphisme de classe C
2 de ]0, +∞[ sur R
dont le difféomorphisme réciproque est la fonction exponentielle. Cela justifie le
changement de variable x = e
t .
A chaque fonction f de classe C
2 sur ]0, +∞[, associons la fonction g définie par
∀t ∈ R, g(t) = f (e
t ).
g est de classe C
2 sur R, et on a, pour tout t ∈ R, g
(t) = e
t f
(e
t ) et
g
(t) = e
t
f
(e
t )) + e
t f
(e
t )
, c’est-à-dire en posant x = e
t , g
(t) = x f
(x)
et g
(t) = x( f
(x) + x f
(x)). On en déduit x
2 f
(x) = g
(t) − g
(t), d’où
ax
2 f
(x) + bx f
(x) + c f (x) = ag
(t) + (b − a)g
(t) + cg(t). Ainsi f est solution
de (1) si et seulement si g est solution de l’équation différentielle linéaire du
second ordre à coefficients constants (2) : az
(t) + (b − a)z
(t) + cz(t) = 0. Les
solutions de (1) sont donc les fonctions de la forme f (x) = g(ln x), où g est
solution de (2).
Les solutions de S sont donc les fonctions X =
x
y
de R dans R
2 telles que
∀t ∈ R,
x(t)
y(t)
=
e
t (a cos(t
2 /2) − b sin(t
2 /2))
e
t (b cos(t
2 /2) + a sin(t
2 /2))
= ae
t
cos(t
2 /2)
sin(t
2 /2)
+ be
t
− sin(t
2 /2)
cos(t
2 /2)
.
Les fonctions X 1 : t → e
t
cos(t
2 /2)
sin(t
2 /2)
et X 2 : t → e
t
− sin(t
2 /2)
cos(t
2 /2)
forment un
système générateur de l’espace vectoriel S des solutions à valeurs réelles. Comme S
est un espace vectoriel de dimension 2, elles forment une base de S.
12.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
De nombreux exercices de concours portent sur la résolution des équations d’Euler :
il s’agit d’équations différentielles de la forme ax
2 y
(x) + bx y
(x) + cy(x) = d(x),
où a, b et c sont des constantes réelles ou complexes.
Exercice 12.10
CCP PC 2006
Soient (a, b, c) ∈ R
∗
× R
2 . On se propose de déterminer les solutions de l’équation différentielle (1) ax
2 y
(x) + bx y
(x) + cy(x) = 0 définies sur ]0, +∞[.
1. Justifier le changement de variable t = ln x et indiquer comment il permet de
résoudre (1).
2. Résoudre sur R
∗
+ , selon les valeurs de a :
x
2 y
(x) + x y
(x) + y(x) = sin(a ln x).
(E)
1. La fonction logarithme est un difféomorphisme de classe C
2 de ]0, +∞[ sur R
dont le difféomorphisme réciproque est la fonction exponentielle. Cela justifie le
changement de variable x = e
t .
A chaque fonction f de classe C
2 sur ]0, +∞[, associons la fonction g définie par
∀t ∈ R, g(t) = f (e
t ).
g est de classe C
2 sur R, et on a, pour tout t ∈ R, g
(t) = e
t f
(e
t ) et
g
(t) = e
t
f
(e
t )) + e
t f
(e
t )
, c’est-à-dire en posant x = e
t , g
(t) = x f
(x)
et g
(t) = x( f
(x) + x f
(x)). On en déduit x
2 f
(x) = g
(t) − g
(t), d’où
ax
2 f
(x) + bx f
(x) + c f (x) = ag
(t) + (b − a)g
(t) + cg(t). Ainsi f est solution
de (1) si et seulement si g est solution de l’équation différentielle linéaire du
second ordre à coefficients constants (2) : az
(t) + (b − a)z
(t) + cz(t) = 0. Les
solutions de (1) sont donc les fonctions de la forme f (x) = g(ln x), où g est
solution de (2).