12.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 293
de l’espace vectoriel E sur l’espace vectoriel F. Il en résulte que la dimension de
E est égale à la dimension de F.
Une base (x 1 , . . . , x n ) de l’espace vectoriel E est appelée un système fondamental
de solutions.
Soit B une base de F, et soit (x 1 , . . . , x n ) une famille de n solutions de (6).
L’application W : t → det
B
(x 1 (t), . . . , x n (t)) est appelée Wronskien de la famille
(x 1 , . . . , x n ) dans la base B. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1) (x 1 , . . . , x n ) un système fondamental de solutions,
2) ∀t ∈ I , W (t) = 0,
3) ∃t 0 ∈ I , W (t 0 ) = 0.
Soit F l’ensemble des solutions de l’équation (5). Si x 0 est une solution particulière de (5), alors les solutions de (5) sont toutes les fonctions de la forme x 0 + x,
avec x ∈ E .
L’ensemble F est donc un sous-espace affine de l’espace vectoriel C
1 (I , F), dont
la direction est l’espace vectoriel E .
La méthode de variation des constantes : lorsqu’on connaît un système fondamental (x 1 , . . . , x n ) de solutions de l’équation homogène (6), alors les solutions
de l’équation complète (5) sont toutes les fonctions de la forme l 1 x 1 + · · · + l n x n
où l 1 , . . . , l n sont des fonctions numériques de classe C
1 sur I dont les dérivées
vérifient l
1 x 1 + · · · + l
n x n = b.
Exercice 12.9
Résoudre le système différentiel linéaire S
x
= x − t y
y
= t x + y
(On cherchera à
mettre en évidence un système fondamental de solutions à valeurs réelles.)
Nous cherchons les solutions à valeurs réelles.
En posant z = x + iy, le système s’écrit
z
= (x − t y) + i(t x + y) = (1 + it)(x + iy) = (1 + it)z.
Il s’agit alors d’une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre dont
les solutions sont les fonctions z telles que ∀t ∈ R, z(t) = le
t+i
t 2
2 , où l est une
constante complexe.
En posant l = a + ib (où (a, b) ∈ R
2 ), on obtient
x(t) + iy(t) = (a + ib)e
t (cos(t
2 /2) + i sin(t
2 /2))
= e
t (a cos(t
2 /2) − b sin(t
2 /2)) + ie
t (b cos(t
2 /2) + a sin(t
2 /2)).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
de l’espace vectoriel E sur l’espace vectoriel F. Il en résulte que la dimension de
E est égale à la dimension de F.
Une base (x 1 , . . . , x n ) de l’espace vectoriel E est appelée un système fondamental
de solutions.
Soit B une base de F, et soit (x 1 , . . . , x n ) une famille de n solutions de (6).
L’application W : t → det
B
(x 1 (t), . . . , x n (t)) est appelée Wronskien de la famille
(x 1 , . . . , x n ) dans la base B. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1) (x 1 , . . . , x n ) un système fondamental de solutions,
2) ∀t ∈ I , W (t) = 0,
3) ∃t 0 ∈ I , W (t 0 ) = 0.
Soit F l’ensemble des solutions de l’équation (5). Si x 0 est une solution particulière de (5), alors les solutions de (5) sont toutes les fonctions de la forme x 0 + x,
avec x ∈ E .
L’ensemble F est donc un sous-espace affine de l’espace vectoriel C
1 (I , F), dont
la direction est l’espace vectoriel E .
La méthode de variation des constantes : lorsqu’on connaît un système fondamental (x 1 , . . . , x n ) de solutions de l’équation homogène (6), alors les solutions
de l’équation complète (5) sont toutes les fonctions de la forme l 1 x 1 + · · · + l n x n
où l 1 , . . . , l n sont des fonctions numériques de classe C
1 sur I dont les dérivées
vérifient l
1 x 1 + · · · + l
n x n = b.
Exercice 12.9
Résoudre le système différentiel linéaire S
x
= x − t y
y
= t x + y
(On cherchera à
mettre en évidence un système fondamental de solutions à valeurs réelles.)
Nous cherchons les solutions à valeurs réelles.
En posant z = x + iy, le système s’écrit
z
= (x − t y) + i(t x + y) = (1 + it)(x + iy) = (1 + it)z.
Il s’agit alors d’une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre dont
les solutions sont les fonctions z telles que ∀t ∈ R, z(t) = le
t+i
t 2
2 , où l est une
constante complexe.
En posant l = a + ib (où (a, b) ∈ R
2 ), on obtient
x(t) + iy(t) = (a + ib)e
t (cos(t
2 /2) + i sin(t
2 /2))
= e
t (a cos(t
2 /2) − b sin(t
2 /2)) + ie
t (b cos(t
2 /2) + a sin(t
2 /2)).
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