292 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
Soient (e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique de R
3 et f l’endomorphisme canoniquement
associé à A. On voit que f (e 2 − 2e 1 ) = 0 et f (e 3 + e 1 ) = 0. Ainsi 0 est une valeur
propre de A, et le sous-espace propre associé est Ker( A) = Vect
⎛
⎝
⎡
⎣
−2
1
0
⎤
⎦ ,
⎡
⎣
1
0
1
⎤
⎦
⎞
⎠ .
Comme la trace de A est égale à 6, on en déduit que 6 est aussi valeur propre de A, et
on voit aisément que le sous-espace propre associé à la valeur propre 6 est la droite
vectorielle engendrée par
⎡
⎣
1
2
−1
⎤
⎦ . La matrice A est diagonalisable. Les solutions du
système sont donc les fonctions X : R → R
3 telles que :
∀t ∈ R, X (t) = a
⎡
⎣
−2
1
0
⎤
⎦ + b
⎡
⎣
1
0
1
⎤
⎦ + ce
6t
⎡
⎣
1
2
−1
⎤
⎦
où a, b et c sont trois constantes réelles.
12.1.5 Equation différentielle linéaire du premier ordre : cas
général. (Filière PSI uniquement)
Ce qu’il faut savoir
Soit F un K-espace vectoriel normé de dimension finie n. On note L (F) l’espace
vectoriel des endomorphismes de F.
Soit a une application définie et continue sur un intervalle I de R et à valeurs dans
L (F), et soit t ∈ I ; afin d’alléger les notations, l’image d’un vecteur x ∈ F par
l’endomorphisme a(t) sera notée a(t)x .
Une équation différentielle vectorielle du premier ordre est une équation de la
forme
∀t ∈ I , x
(t) = a(t)x(t) + b(t)
(5)
où a est une application continue de I dans L (F), et où b est une application
continue de I dans F.
L’équation différentielle ∀t ∈ I , x
(t) = a(t)x(t)
(6)
est appelée l’équation homogène associée à (5).
Théorème de Cauchy-Lipschitz : Soient t 0 ∈ I et v 0 ∈ F. Alors il existe une
unique solution x de (5) sur I vérifiant la condition initiale x(t 0 ) = v 0 .
La courbe définie par le paramétrage t → x(t) est appelée une courbe intégrale.
Structure de l’ensemble des solutions :
L’ensemble E des solutions de l’équation homogène (6) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel C
1 (I , K) des applications de classe C
1 de I dans K. Si
t 0 est un point de I , l’application qui à x ∈ E associe x(t 0 ) est un isomorphisme
Soient (e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique de R
3 et f l’endomorphisme canoniquement
associé à A. On voit que f (e 2 − 2e 1 ) = 0 et f (e 3 + e 1 ) = 0. Ainsi 0 est une valeur
propre de A, et le sous-espace propre associé est Ker( A) = Vect
⎛
⎝
⎡
⎣
−2
1
0
⎤
⎦ ,
⎡
⎣
1
0
1
⎤
⎦
⎞
⎠ .
Comme la trace de A est égale à 6, on en déduit que 6 est aussi valeur propre de A, et
on voit aisément que le sous-espace propre associé à la valeur propre 6 est la droite
vectorielle engendrée par
⎡
⎣
1
2
−1
⎤
⎦ . La matrice A est diagonalisable. Les solutions du
système sont donc les fonctions X : R → R
3 telles que :
∀t ∈ R, X (t) = a
⎡
⎣
−2
1
0
⎤
⎦ + b
⎡
⎣
1
0
1
⎤
⎦ + ce
6t
⎡
⎣
1
2
−1
⎤
⎦
où a, b et c sont trois constantes réelles.
12.1.5 Equation différentielle linéaire du premier ordre : cas
général. (Filière PSI uniquement)
Ce qu’il faut savoir
Soit F un K-espace vectoriel normé de dimension finie n. On note L (F) l’espace
vectoriel des endomorphismes de F.
Soit a une application définie et continue sur un intervalle I de R et à valeurs dans
L (F), et soit t ∈ I ; afin d’alléger les notations, l’image d’un vecteur x ∈ F par
l’endomorphisme a(t) sera notée a(t)x .
Une équation différentielle vectorielle du premier ordre est une équation de la
forme
∀t ∈ I , x
(t) = a(t)x(t) + b(t)
(5)
où a est une application continue de I dans L (F), et où b est une application
continue de I dans F.
L’équation différentielle ∀t ∈ I , x
(t) = a(t)x(t)
(6)
est appelée l’équation homogène associée à (5).
Théorème de Cauchy-Lipschitz : Soient t 0 ∈ I et v 0 ∈ F. Alors il existe une
unique solution x de (5) sur I vérifiant la condition initiale x(t 0 ) = v 0 .
La courbe définie par le paramétrage t → x(t) est appelée une courbe intégrale.
Structure de l’ensemble des solutions :
L’ensemble E des solutions de l’équation homogène (6) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel C
1 (I , K) des applications de classe C
1 de I dans K. Si
t 0 est un point de I , l’application qui à x ∈ E associe x(t 0 ) est un isomorphisme