12.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 291
avec A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a 11 a 21 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
. . .
. . .
. . .
a n1 a n2 . . . a nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
et X : t → X (t) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
. . .
x n (t)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Théorème de Cauchy-Lipschitz : Soit t 0 ∈ R, et soit Y 0 ∈ K
n . Alors il existe
une unique solution X de (4) vérifiant la condition initiale X (t 0 ) = Y 0 .
Lorsque X est une solution, la courbe de K
n définie par la paramétrisation
t → X (t) est appelée une courbe intégrale.
Notons E l’ensemble des solutions de (4). C’est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel C
1 (R, K) des applications de classe C
1 de R dans K. On déduit du
théorème de Cauchy que l’application qui à X ∈ E associe X (t 0 ) est un isomorphisme de l’espace vectoriel E dans l’espace vectoriel K
n . Il en résulte que E est
un K-espace vectoriel de dimension n.
Une base (X 1 , . . . , X n ) de l’espace vectoriel E est appelée un système fondamental de solutions.
Si (X 1 , . . . , X n ) est une famille de n solutions de (4), et si t ∈ R, on note
W (t) = det(X 1 (t), . . . , X n (t)) le déterminant du système (X 1 (t), . . . , X n (t)) dans
la base canonique de K
n .
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) (X 1 , . . . , X n ) est un système fondamental de solutions.
b) W (t) = 0 pour tout t ∈ R.
c) Il existe t 0 ∈ R tel que W (t 0 ) = 0.
L’application W : t → W (t) est appelée le Wronskien de la famille (X 1 , . . . , X n ).
Un cas particulier important : Supposons la matrice A diagonalisable dans
M n (K). Soit (u 1 , . . . , u n ) une base de vecteurs propres de A, soient l 1 . . . , l n
les valeurs propres associées, et soit pour tout k (1 k n), X k : t → e
l k
t u k .
Alors (X 1 , . . . , X n ) est un système fondamental de solutions.
Exercice 12.8
CCP PC 2006
Résoudre le système
⎧
⎨
⎩
x
= x + 2y − z
y
= 2x + 4y − 2z
z
= −x − 2y + z
Il s’agit d’un système différentiel du premier ordre à coefficients constants dont la
matrice est : A =
⎡
⎣
1
2 −1
2
4 −2
−1 −2
1
⎤
⎦ .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
avec A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a 11 a 21 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
. . .
. . .
. . .
a n1 a n2 . . . a nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
et X : t → X (t) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
. . .
x n (t)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Théorème de Cauchy-Lipschitz : Soit t 0 ∈ R, et soit Y 0 ∈ K
n . Alors il existe
une unique solution X de (4) vérifiant la condition initiale X (t 0 ) = Y 0 .
Lorsque X est une solution, la courbe de K
n définie par la paramétrisation
t → X (t) est appelée une courbe intégrale.
Notons E l’ensemble des solutions de (4). C’est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel C
1 (R, K) des applications de classe C
1 de R dans K. On déduit du
théorème de Cauchy que l’application qui à X ∈ E associe X (t 0 ) est un isomorphisme de l’espace vectoriel E dans l’espace vectoriel K
n . Il en résulte que E est
un K-espace vectoriel de dimension n.
Une base (X 1 , . . . , X n ) de l’espace vectoriel E est appelée un système fondamental de solutions.
Si (X 1 , . . . , X n ) est une famille de n solutions de (4), et si t ∈ R, on note
W (t) = det(X 1 (t), . . . , X n (t)) le déterminant du système (X 1 (t), . . . , X n (t)) dans
la base canonique de K
n .
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) (X 1 , . . . , X n ) est un système fondamental de solutions.
b) W (t) = 0 pour tout t ∈ R.
c) Il existe t 0 ∈ R tel que W (t 0 ) = 0.
L’application W : t → W (t) est appelée le Wronskien de la famille (X 1 , . . . , X n ).
Un cas particulier important : Supposons la matrice A diagonalisable dans
M n (K). Soit (u 1 , . . . , u n ) une base de vecteurs propres de A, soient l 1 . . . , l n
les valeurs propres associées, et soit pour tout k (1 k n), X k : t → e
l k
t u k .
Alors (X 1 , . . . , X n ) est un système fondamental de solutions.
Exercice 12.8
CCP PC 2006
Résoudre le système
⎧
⎨
⎩
x
= x + 2y − z
y
= 2x + 4y − 2z
z
= −x − 2y + z
Il s’agit d’un système différentiel du premier ordre à coefficients constants dont la
matrice est : A =
⎡
⎣
1
2 −1
2
4 −2
−1 −2
1
⎤
⎦ .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit