290 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
L’unicité du développement en série entière de la fonction nulle montre que S est
solution de (E) si et seulement si a 1 = a 2 = a 3 = 0 et ∀n 3, a n+1 =
4a n−3
(n + 1)(n + 3)
.
On en déduit que pour tout p ∈ N, on a a 4 p+1 = 0, a 4 p+2 = 0, a 4 p+3 = 0 et
a 4 p =
a 0
(2 p + 1)!
(par récurrence sur p).
On a donc S(x) = a 0
+∞
p=0
x
4 p
(2 p + 1)!
= a 0 f (x), où f est la fonction définie sur R par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
sh(x
2 )
x 2
si x = 0,
0
s ix = 0.
Comme le rayon de convergence de la série entière est
infini, S est une solution définie sur R, pour tout a 0 ∈ R.
2) La fonction g : x →
ch(x
2 )
x 2 est de classe C
2 sur R
∗
+ et sur R
∗
− . Pour x ∈ R
∗ , on
calcule
g(x) = x
−2 ch
x
2
,
g
(x) = −2x
−3 ch
x
2
+ 2x
−1 sh
x
2
et
g
(x) = 6x
−4 ch
x
2
− 6x
−2 sh
x
2
+ 4 ch
x
2
,
et on vérifie que xg
(x) + 3g
(x) − 4x
3 g(x) = 0.
Les restrictions de f et g à R
∗
+ étant linéairement indépendantes, elles forment un
système fondamental de solutions sur cet intervalle. Il en est de même sur R
∗
− .
3) Etudions le raccordement éventuel en 0 d’une solution f 1 = a 1 f + b 1 g définie sur
R
∗
+ et d’une solution f 2 = a 2 f + b 2 g définie sur R
∗
+ . L’existence d’une limite en 0
entraîne b 1 = b 2 = 0. Comme de plus lim
x→0
f (x) = 1, l’égalité des limites de f
1 et
f
2 en 0 entraîne a 1 = a 2 . Ainsi les seules solutions définies sur R sont les fonctions
de la forme a f , avec a ∈ R.
12.1.4 Système différentiel linéaire à coefficients constants
Ce qu’il faut savoir
On considère un système différentiel de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x
1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n
x
2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n
. . .
x
n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n
(3)
où les a i j sont des nombres réels ou complexes, et où x i : t → x i (t) sont des
fonctions de R dans K, de classe C
1 sur R.
On peut écrire le système sous forme matricielle
X
= AX,
(4)
L’unicité du développement en série entière de la fonction nulle montre que S est
solution de (E) si et seulement si a 1 = a 2 = a 3 = 0 et ∀n 3, a n+1 =
4a n−3
(n + 1)(n + 3)
.
On en déduit que pour tout p ∈ N, on a a 4 p+1 = 0, a 4 p+2 = 0, a 4 p+3 = 0 et
a 4 p =
a 0
(2 p + 1)!
(par récurrence sur p).
On a donc S(x) = a 0
+∞
p=0
x
4 p
(2 p + 1)!
= a 0 f (x), où f est la fonction définie sur R par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
sh(x
2 )
x 2
si x = 0,
0
s ix = 0.
Comme le rayon de convergence de la série entière est
infini, S est une solution définie sur R, pour tout a 0 ∈ R.
2) La fonction g : x →
ch(x
2 )
x 2 est de classe C
2 sur R
∗
+ et sur R
∗
− . Pour x ∈ R
∗ , on
calcule
g(x) = x
−2 ch
x
2
,
g
(x) = −2x
−3 ch
x
2
+ 2x
−1 sh
x
2
et
g
(x) = 6x
−4 ch
x
2
− 6x
−2 sh
x
2
+ 4 ch
x
2
,
et on vérifie que xg
(x) + 3g
(x) − 4x
3 g(x) = 0.
Les restrictions de f et g à R
∗
+ étant linéairement indépendantes, elles forment un
système fondamental de solutions sur cet intervalle. Il en est de même sur R
∗
− .
3) Etudions le raccordement éventuel en 0 d’une solution f 1 = a 1 f + b 1 g définie sur
R
∗
+ et d’une solution f 2 = a 2 f + b 2 g définie sur R
∗
+ . L’existence d’une limite en 0
entraîne b 1 = b 2 = 0. Comme de plus lim
x→0
f (x) = 1, l’égalité des limites de f
1 et
f
2 en 0 entraîne a 1 = a 2 . Ainsi les seules solutions définies sur R sont les fonctions
de la forme a f , avec a ∈ R.
12.1.4 Système différentiel linéaire à coefficients constants
Ce qu’il faut savoir
On considère un système différentiel de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x
1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n
x
2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n
. . .
x
n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n
(3)
où les a i j sont des nombres réels ou complexes, et où x i : t → x i (t) sont des
fonctions de R dans K, de classe C
1 sur R.
On peut écrire le système sous forme matricielle
X
= AX,
(4)