12.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 289
Soit y une fonction de classe C
2 sur R
∗
+ . Alors la fonction Y définie sur R
∗
+ par
Y (t) = y(t
1/2 ) est elle aussi de classe C
2 comme composée de deux fonctions de
classe C
2 . On a alors, pour tout x ∈ R
∗
+ , y(x) = Y (x
2 ), y
(x) = 2xY
(x
2 ) et
y
(x) = 2Y
(x
2 )+4x
2 Y
(x
2 ), d’où x y
(x)−y
(x)−4x
3 y(x) = 4x
3 (Y
(x
2 )−Y (x
2 )).
Il en résulte que y est solution de (E) si et seulement si Y est solution sur R
∗
+ de
l’équation différentielle à coefficients constants Y
− Y = 0.
Les solutions de cette dernière équation sont les fonctions Y définies sur R
∗
+ par
Y (t) = a 1 ch t + b 1 sh t, et les solutions de (E) sur R
∗
+ sont donc les fonctions telles
que y(x) = a 1 ch(x
2 ) + b 1 sh(x
2 ) où a 1 et b 1 sont deux constantes réelles.
Soit y une fonction de classe C
2 sur R
∗
− , et soit z la fonction définie sur R
∗
+ par
z(x) = y(−x). La fonction z est de classe C
2 et, pour tout x ∈ R
∗
+ ,
xz
(x) − z
(x) − 4x
3 z(x) = −
(−x)y
(−x) − y
(−x) − 4(−x)
3 y(−x)
Ainsi y est solution de (E) sur R
∗
− si et seulement si z est solution sur R
∗
+ . Les solutions de (E) sur R
∗
− sont donc les fonctions définies par y(x) = a 2 ch(x
2 ) + b 2 sh(x
2 )
où a 2 et b 2 sont deux constantes réelles.
e) Recherche de solutions développables en série entière
Exercice 12.7
CCP PC 2006
On considère l’équation différentielle (E) : x y
+ 3y
− 4x
3 y = 0.
1. Déterminer les solutions de (E) développables en série entière.
2. Vérifier que l’application x →
ch(x
2 )
x 2 est solution de (E) sur R
∗
+ et sur R
∗
− .
3. Déterminer les solutions définies sur R.
1) Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre. Comme le coefficient de y
s’annule pour x = 0, rien ne permet d’affirmer l’existence d’une solution
non nulle définie au voisinage de 0, encore moins l’existence d’une solution (non
nulle) développable en série entière !
Nous cherchons a priori une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0
dont la somme S soit solution de (E).
On a alors, pour tout x ∈ ]−R, R[, S(x) =
+∞
n=0
a n x
n , S
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n et
S
(x) =
+∞
n=1
n(n + 1)a n+1 x
n−1 . On a ensuite
x S
(x)+3S
(x)−4x
3 S(x) = 3a 1 +8a 2 x +15a 3 x
2 +
+∞
n=3
((n +1)(n +3)a n+1 −4a n−3 )x
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Soit y une fonction de classe C
2 sur R
∗
+ . Alors la fonction Y définie sur R
∗
+ par
Y (t) = y(t
1/2 ) est elle aussi de classe C
2 comme composée de deux fonctions de
classe C
2 . On a alors, pour tout x ∈ R
∗
+ , y(x) = Y (x
2 ), y
(x) = 2xY
(x
2 ) et
y
(x) = 2Y
(x
2 )+4x
2 Y
(x
2 ), d’où x y
(x)−y
(x)−4x
3 y(x) = 4x
3 (Y
(x
2 )−Y (x
2 )).
Il en résulte que y est solution de (E) si et seulement si Y est solution sur R
∗
+ de
l’équation différentielle à coefficients constants Y
− Y = 0.
Les solutions de cette dernière équation sont les fonctions Y définies sur R
∗
+ par
Y (t) = a 1 ch t + b 1 sh t, et les solutions de (E) sur R
∗
+ sont donc les fonctions telles
que y(x) = a 1 ch(x
2 ) + b 1 sh(x
2 ) où a 1 et b 1 sont deux constantes réelles.
Soit y une fonction de classe C
2 sur R
∗
− , et soit z la fonction définie sur R
∗
+ par
z(x) = y(−x). La fonction z est de classe C
2 et, pour tout x ∈ R
∗
+ ,
xz
(x) − z
(x) − 4x
3 z(x) = −
(−x)y
(−x) − y
(−x) − 4(−x)
3 y(−x)
Ainsi y est solution de (E) sur R
∗
− si et seulement si z est solution sur R
∗
+ . Les solutions de (E) sur R
∗
− sont donc les fonctions définies par y(x) = a 2 ch(x
2 ) + b 2 sh(x
2 )
où a 2 et b 2 sont deux constantes réelles.
e) Recherche de solutions développables en série entière
Exercice 12.7
CCP PC 2006
On considère l’équation différentielle (E) : x y
+ 3y
− 4x
3 y = 0.
1. Déterminer les solutions de (E) développables en série entière.
2. Vérifier que l’application x →
ch(x
2 )
x 2 est solution de (E) sur R
∗
+ et sur R
∗
− .
3. Déterminer les solutions définies sur R.
1) Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre. Comme le coefficient de y
s’annule pour x = 0, rien ne permet d’affirmer l’existence d’une solution
non nulle définie au voisinage de 0, encore moins l’existence d’une solution (non
nulle) développable en série entière !
Nous cherchons a priori une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0
dont la somme S soit solution de (E).
On a alors, pour tout x ∈ ]−R, R[, S(x) =
+∞
n=0
a n x
n , S
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n et
S
(x) =
+∞
n=1
n(n + 1)a n+1 x
n−1 . On a ensuite
x S
(x)+3S
(x)−4x
3 S(x) = 3a 1 +8a 2 x +15a 3 x
2 +
+∞
n=3
((n +1)(n +3)a n+1 −4a n−3 )x
n .
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