288 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
c) Raccordement de solutions
Exercice 12.5
CCP PSI 2006 (suite du précédent)
Déterminer la dimension de l’espace vectoriel S des solutions définies sur R de
l’équation différentielle (E) (2x + 1)y
+ (4x − 2)y
− 8y = 0
Nous avons effectué la résolution de (E) sur les intervalles I 1 =
−∞, −
1
2
et
I 2 =
−
1
2
, +∞
dans l’exercice précédent.
Soit y k : x → a k (1 + 4x
2 ) + b k e
−2x une solution définie sur I k (k = 1 ou 2). On a
lim
x→−
1
2
y k (x) = 2a k + eb k , lim
x→−
1
2
y
k (x) = −2(2a k + eb k ) et lim
x→−
1
2
y
k (x) = 4(2a k + eb k ).
Il en résulte que y 1 et y 2 sont les restrictions d’une solution y définie sur R si et
seulement si 2a 1 + eb 1 = 2a 2 + eb 2 (condition de raccordement). Les constantes
a 1 , a 2 et b 1 peuvent être choisies arbitrairement dans R, la condition de raccordement
déterminant b 2 de manière unique. En d’autres termes l’application de R
3 dans S qui
à (a 1 , a 2 , b 1 ) associe la solution y telle que y(x) = a 1 (1 + 4x
2 ) + b 1 e
−2x si x < −
1
2
et y(x) = a 2 (1 + 4x
2 ) + (b 1 + 2e
−1 (a 1 − a 2 ))e
−2x si x > −
1
2
est bijective. Comme
elle est aussi linéaire, on a dim(E) = 3.
d) Changement de variable
Ce qu’il faut savoir
Il est souvent utile d’effectuer un changement de variable dans une équation différentielle du second ordre. Pour être licite, un changement de variable doit être
défini par un difféomorphisme de classe C
2 .
Exercice 12.6
CCP PC 2006
Soit y une fonction deux fois dérivable de R
∗
+ dans R. Montrer que y est solution
de (E) : x y
− y
− 4x
3 y = 0 si et seulement si Y (t) = y(
√
t) est solution
d’une équation différentielle à coefficients constants.
Résoudre (E) sur R
∗
+ puis sur R
∗
− .
L’application t → x =
√
t est un difféomorphisme de classe C
2 de l’intervalle R
∗
+
sur lui même dont le difféomorphisme réciproque est l’application x → t = x
2 .