12.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 287
Exercice 12.4
CCP PSI 2006
On considère l’équation différentielle (E) (2x + 1)y
+ (4x − 2)y
− 8y = 0.
1. Montrer qu’elle admet une solution de la forme h(x) = e
ax .
2. Résoudre (E) sur I 1 =
−∞, −
1
2
et sur I 2 =
−
1
2
, +∞
.
1) Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre. Comme le coefficient de y
s’annule pour x = −
1
2
, nous cherchons les solutions définies sur
I 1 =
−∞, −
1
2
et les solutions définies sur I 2 =
−
1
2
, +∞
.
Soit h une solution définie sur I 1 ou I 2 de la forme h(x) = e
ax . On a alors
h
(x) = ae
ax et h
(x) = a
2 e
ax , d’où
(2x + 1)h
(x) + (4x − 2)h
(x) − 8h(x) = (a
2 (2x + 1) + a(4x − 2) − 8)e
ax
= ((2a
2 + 4a)x + a
2
− 2a − 8)e
ax
Ainsi, pour que h soit solution de (E), il faut et il suffit que 2a
2 + 4a = 0 et
a
2
− 2a − 8 = 0, c’est-à-dire que a = −2.
2) On cherche donc les solutions de (E) sous la forme y = e
−2x z : de façon précise,
si y est une fonction de classe C
2 sur I k (k = 1, 2) , alors la fonction z = ye
2x est
elle aussi de classe C
2 , et on a y
= (z
− 2z)e
−2x et y
= (z
− 4z
+ 4z)e
−2x .
On a alors
(2x + 1)y
+ (4x − 2)y
− 8y = ((2x + 1)(z
− 4z
+ 4z) + (4x − 2)(z
− 2z) − 8z)e
−2x
= ((2x + 1)z
− (4x + 6)z
)e
−2x .
Pour que y soit solution de (E), il faut et il suffit que u = z
soit solution de l’équation
différentielle (E 1 ) (2x + 1)u
− (4x + 6)u = 0, c’est-à-dire :
u
=
4x + 6
2x + 1
u =
2 +
4
2x + 1
u.
Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre dont les solutions u 1 (resp.
u 2 ) définies sur I 1 (resp. I 2 ) sont définies par :
u 1 (x) = a 1 e
2x+ln(2x+1)
2
= a 1 (2x + 1)
2 e
2x , et u 2 (x) = a 2 e
2x+ln(2x+1)
2
= a 2 (2x + 1)
2 e
2x
où a 1 et a 2 sont des constantes réelles.
Une primitive de (2x + 1)
2 e
2x est
1
2
(1 + 4x
2 )e
2x , donc y 1 (resp. y 2 ) est de la forme
∀x ∈ I k , y k (x) = a k (1 + 4x
2 ) + b k e
−2x
où a k et b k sont des constantes réelles.
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