286 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
12.1.3 Méthodes de résolution
a) La méthode de variation des constantes
Dans le cas où on connaît un système fondamental de solutions de l’équation homogène, mais où on ne connaît pas de solution particulière de l’équation complète, on
utilise généralement la méthode de variation des constantes :
Ce qu’il faut savoir
Soit (y 1 , y 2 ) un système fondamental de l’équation homogène. Alors les solutions
de l’équation complète sont toutes les fonctions de la forme y = ly 1 + my 2 , où l
et m sont des fonctions de classe C
1 sur I dont les dérivées vérifient
l
y 1 + m
y 2 = 0
l
y
1 + m
y
2 = d/a
Exercice 12.3
CCP PSI 2006
Résoudre l’équation différentielle y
+ y =
1
sin x
sur I = ]0, p[.
Les fonctions x → cos x et x → sin x forment un système fondamental de solutions
de l’équation homogène. On sait alors que les solutions de l’équation complète sont
de la forme y : x → l cos x + m sin x où l et m sont des fonctions de classe C
1 telles
que
∀x ∈ I ,
⎧
⎨
⎩
l
(x) cos x + m
(x) sin x =
0
−l
(x) sin x + m
(x) cos x =
1
sin x
On en déduit aisément l
(x) = −1 et m
(x) =
cos x
sin x
, d’où l(x) = −x + a et
m(x) = ln(sin x) + b où a et b sont deux constantes réelles. Les solutions sont donc
les fonctions y définies sur I par y(x) = −x cos x + sin x ln(sin x) + a cos x + b sin x
où a et b sont deux constantes réelles.
b) Changement de fonction inconnue
Ce qu’il faut savoir
Lorsque h est une solution de l’équation homogène ne s’annulant pas, on peut
résoudre l’équation (1) à l’aide du changement de fonction inconnue y = zh.
La fonction z
est alors solution d’une équation différentielle linéaire du premier
ordre.