12.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 285
2) Déterminer les solutions de (E) définies et de classe C
2 sur R.
3) Existe-t-il une solution définie et de classe C
2 sur R, vérifiant les conditions
initiales y(0) = 0 et y
(0) = 2 ?
1) Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre. On observe que les fonctions u et v définies sur R par u(x) = x + 1 et v(x) = e
x sont des solutions de (E).
Attention : pour pouvoir appliquer le théorème général concernant la dimension de
l’espace vectoriel des solutions il faut se placer sur des intervalles où le coefficient
de y
ne s’annule pas !
Plaçons nous, par exemple, sur l’intervalle I 1 = ]0, +∞[. Les fonctions u et v
forment un système fondamental de solutions sur cet intervalle puisque leur Wronskien W (x) = u(x)v
(x) − u
(x)v(x) = xe
x est non nul.
Les solutions de (E) sur I 1 sont donc les fonctions y 1 définies par
∀x ∈ I 1 , y 1 (x) = a 1 e
x + b 1 (x + 1) où a 1 et b 1 sont deux constantes réelles.
De même, les solutions définies sur I 2 = ]−∞, 0[ sont les fonctions y 2 telles que
y 2 (x) = a 2 e
x + b 2 (x + 1) avec (a 2 , b 2 ) ∈ R
2 .
2) Cherchons maintenant les solutions définies sur R.
Soit y 1 : x → a 1 e
x +b 1 (x +1) une solution définie sur I 1 et y 2 : x → a 2 e
x +b 2 (x +1) une
solution définie sur I 2 . Pour qu’elles soient les restrictions d’une solution y définie
sur R, il faut et il suffit que :
lim
x→0 +
y 1 (x) = lim
x→0 −
y 2 (x)
lim
x→0 +
y
1 (x) = lim
x→0 −
y
2 (x)
lim
x→0 +
y
1 (x) = lim
x→0 −
y
2 (x)
c’est-à-dire a 1 + b 1 = a 2 + b 2 , a 1 + b 1 = a 2 + b 2 et a 1 = a 2 .
Ces conditions (appelées conditions de raccordement) sont vérifiées si, et seulement
si, a 1 = a 2 et b 1 = b 2 .
Il en résulte que les solutions de (E) définies sur R sont toutes les fonctions de R
dans R de la forme y : x → ae
x + b(x + 1) où a et b sont deux constantes réelles.
3) La relation (E) montre que si y est une solution définie sur R, alors y
(0) = y(0) = a+b.
Il n’existe donc pas de solution vérifiant les conditions initiales indiquées.
Remarque
On voit sur cet exemple que le théorème de Cauchy peut être mis en défaut si le
coefficient de y
dans l’équation (E) s’annule en un point.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2) Déterminer les solutions de (E) définies et de classe C
2 sur R.
3) Existe-t-il une solution définie et de classe C
2 sur R, vérifiant les conditions
initiales y(0) = 0 et y
(0) = 2 ?
1) Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre. On observe que les fonctions u et v définies sur R par u(x) = x + 1 et v(x) = e
x sont des solutions de (E).
Attention : pour pouvoir appliquer le théorème général concernant la dimension de
l’espace vectoriel des solutions il faut se placer sur des intervalles où le coefficient
de y
ne s’annule pas !
Plaçons nous, par exemple, sur l’intervalle I 1 = ]0, +∞[. Les fonctions u et v
forment un système fondamental de solutions sur cet intervalle puisque leur Wronskien W (x) = u(x)v
(x) − u
(x)v(x) = xe
x est non nul.
Les solutions de (E) sur I 1 sont donc les fonctions y 1 définies par
∀x ∈ I 1 , y 1 (x) = a 1 e
x + b 1 (x + 1) où a 1 et b 1 sont deux constantes réelles.
De même, les solutions définies sur I 2 = ]−∞, 0[ sont les fonctions y 2 telles que
y 2 (x) = a 2 e
x + b 2 (x + 1) avec (a 2 , b 2 ) ∈ R
2 .
2) Cherchons maintenant les solutions définies sur R.
Soit y 1 : x → a 1 e
x +b 1 (x +1) une solution définie sur I 1 et y 2 : x → a 2 e
x +b 2 (x +1) une
solution définie sur I 2 . Pour qu’elles soient les restrictions d’une solution y définie
sur R, il faut et il suffit que :
lim
x→0 +
y 1 (x) = lim
x→0 −
y 2 (x)
lim
x→0 +
y
1 (x) = lim
x→0 −
y
2 (x)
lim
x→0 +
y
1 (x) = lim
x→0 −
y
2 (x)
c’est-à-dire a 1 + b 1 = a 2 + b 2 , a 1 + b 1 = a 2 + b 2 et a 1 = a 2 .
Ces conditions (appelées conditions de raccordement) sont vérifiées si, et seulement
si, a 1 = a 2 et b 1 = b 2 .
Il en résulte que les solutions de (E) définies sur R sont toutes les fonctions de R
dans R de la forme y : x → ae
x + b(x + 1) où a et b sont deux constantes réelles.
3) La relation (E) montre que si y est une solution définie sur R, alors y
(0) = y(0) = a+b.
Il n’existe donc pas de solution vérifiant les conditions initiales indiquées.
Remarque
On voit sur cet exemple que le théorème de Cauchy peut être mis en défaut si le
coefficient de y
dans l’équation (E) s’annule en un point.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit