284 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
12.1.2 Équation différentielle linéaire scalaire du second ordre
Ce qu’il faut savoir
On considère une équation différentielle de la forme
∀x ∈ I , a(x)y
+ b(x)y
+ c(x)y = d(x)
(1)
où a, b, c, d sont des fonctions numériques (à valeurs dans K = R ou C), continues sur un intervalle I de R, et où l’inconnue y est une fonction de classe C
2 de
I dans K.
L’équation différentielle
∀x ∈ I , a(x)y
+ b(x)y
+ c(x)y = 0
(2)
est appelée l’équation homogène associée à (1). Dans la suite nous supposons
que a ne s’annule pas sur I.
Théorème (Cauchy-Lipschitz) : Soit x 0 ∈ I , et soit (v 0 , v 1 ) ∈ K
2 . Alors il existe
une unique solution y de (E) sur l’intervalle I vérifiant les conditions initiales
y(x 0 ) = v 0 et y
(x 0 ) = v 1 .
L’ensemble E des solutions
1 de (2) est un sous-espace vectoriel de dimension
2 du K-espace vectoriel des fonctions de classe C
2 sur I . Une base de l’espace
vectoriel E est appelée un système fondamental de solutions.
Soient y 1 et y 2 deux solutions de (2). La fonction W = y 1 y
2 − y 2 y
1 est appelée
Wronskien du couple (y 1 , y 2 ). Elle est solution de l’équation différentielle
∀x ∈ I , a(x)W
+ b(x)W = 0.
Pour que (y 1 , y 2 ) forme un système fondamental de solutions de (2), il faut et il
suffit que W ne s’annule pas sur I , et il suffit, pour cela, qu’il soit non nul en un
point x 0 de I .
L’ensemble F des solutions de l’équation complète (1) est un sous-espace affine
de dimension 2 de l’espace vectoriel C
2 (I , K), dont la direction est l’espace vectoriel E des solutions de l’équation homogène : si y 0 est une solution particulière
de (1), les solutions de (1) sont les fonctions de la forme y 0 + y, avec y ∈ E .
Exercice 12.2
CCP PC 2006
1) Résoudre l’équation différentielle (E) x y
−(x +1)y
+ y = 0 sur R
∗
+ et sur R
∗
− .
Indication de l’examinateur : on pourra chercher des solutions évidentes (une
fonction exponentielle, et une fonction affine).
1. Dans le cas où les fonctions a, b, c et d sont à valeurs réelles on recherche généralement les solutions
à valeurs réelles.
12.1.2 Équation différentielle linéaire scalaire du second ordre
Ce qu’il faut savoir
On considère une équation différentielle de la forme
∀x ∈ I , a(x)y
+ b(x)y
+ c(x)y = d(x)
(1)
où a, b, c, d sont des fonctions numériques (à valeurs dans K = R ou C), continues sur un intervalle I de R, et où l’inconnue y est une fonction de classe C
2 de
I dans K.
L’équation différentielle
∀x ∈ I , a(x)y
+ b(x)y
+ c(x)y = 0
(2)
est appelée l’équation homogène associée à (1). Dans la suite nous supposons
que a ne s’annule pas sur I.
Théorème (Cauchy-Lipschitz) : Soit x 0 ∈ I , et soit (v 0 , v 1 ) ∈ K
2 . Alors il existe
une unique solution y de (E) sur l’intervalle I vérifiant les conditions initiales
y(x 0 ) = v 0 et y
(x 0 ) = v 1 .
L’ensemble E des solutions
1 de (2) est un sous-espace vectoriel de dimension
2 du K-espace vectoriel des fonctions de classe C
2 sur I . Une base de l’espace
vectoriel E est appelée un système fondamental de solutions.
Soient y 1 et y 2 deux solutions de (2). La fonction W = y 1 y
2 − y 2 y
1 est appelée
Wronskien du couple (y 1 , y 2 ). Elle est solution de l’équation différentielle
∀x ∈ I , a(x)W
+ b(x)W = 0.
Pour que (y 1 , y 2 ) forme un système fondamental de solutions de (2), il faut et il
suffit que W ne s’annule pas sur I , et il suffit, pour cela, qu’il soit non nul en un
point x 0 de I .
L’ensemble F des solutions de l’équation complète (1) est un sous-espace affine
de dimension 2 de l’espace vectoriel C
2 (I , K), dont la direction est l’espace vectoriel E des solutions de l’équation homogène : si y 0 est une solution particulière
de (1), les solutions de (1) sont les fonctions de la forme y 0 + y, avec y ∈ E .
Exercice 12.2
CCP PC 2006
1) Résoudre l’équation différentielle (E) x y
−(x +1)y
+ y = 0 sur R
∗
+ et sur R
∗
− .
Indication de l’examinateur : on pourra chercher des solutions évidentes (une
fonction exponentielle, et une fonction affine).
1. Dans le cas où les fonctions a, b, c et d sont à valeurs réelles on recherche généralement les solutions
à valeurs réelles.