12.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 283
Les solutions de (E) sur I k sont donc les fonctions de la forme
x → y k (x) =
x − Arctan x + a k
x 2
où a k est une constante réelle.
2) La fonction h est de classe C
∞ sur chacun des intervalles R
∗
+ et R
∗
− . On sait par
ailleurs que la fonction Arctan est développable en série entière :
∀x ∈ ]−1, 1[, Arctan x =
+∞
n=0
(−1)
n
2n + 1
x
2n+1 .
On en déduit que : ∀x ∈ ]−1, 1[, h(x) =
+∞
n=1
(−1)
n−1
2n + 1
x
2n−1 . La restriction de h à
]−1, 1[ est donc de classe C
∞ puisque c’est la somme d’une série entière, et il en
résulte finalement que h est de classe C
∞ sur R.
3) Soit y une solution de (E) définie sur R. Notons y 1 (resp. y 2 ) sa restriction à I 1
(resp. I 2 ). Ce sont des solutions de (E) et il existe donc deux constantes a 1 et a 2 telles
que
∀x ∈ R, y(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x − Arctan x + a 1
x 2
si x ∈ I 1 ,
x − Arctan x + a 2
x 2
si x ∈ I 2 .
Comme y est de classe C
1 sur R, y 1 , y 2 , y
1 , y
2 ont des limites finies en
0 telles que lim
x→0 +
y 1 (x) = lim
x→0 −
y 2 (x) et lim
x→0 +
y
1 (x) = lim
x→0 −
y
2 (x). Comme
lim
x→0
(x − Arctan x) = 0, la condition concernant les limites en 0 de y 1 et
y 2 entraîne a 1 = a 2 = 0. On a donc y(x) = h(x) pour tout x = 0, et
y(0) = lim
x→0
x − Arctan x
x 2
= 0.
Réciproquement la fonction h vérifie la relation xh
(x) + 2h(x) =
x
x 2 + 1
pour tout
x ∈ R
∗ , et aussi au point x = 0 puisque h(0) = 0. C’est donc une solution de (E)
définie sur R, et elle est unique.
4) En partant de la relation 2 f (x) = −x f
(x) +
x
1 + x 2 , on obtient, à l’aide d’une
intégration par parties :
2
1
0
f (x)dx =
−x f (x)
1
0
+
1
0
f (x)dx +
1
2
ln(1 + x
2 )
1
0
,
d’où
1
0
f (x)dx = − f (1) +
ln 2
2
= −1 +
p
4
+
ln 2
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit