12 Équations différentielles
linéaires
12.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
12.1.1 Un exercice de révision
Nous avons étudié en première année les équations différentielles linéaires scalaires
du premier ordre. Vous pouvez tester vos connaissances avec l’exercice suivant :
Exercice 12.1
CCP PC 2006
1) Résoudre l’équation différentielle (E) x y
+ 2y =
x
x 2 + 1
sur R
∗
+ et sur R
∗
− .
2) Soit h la fonction définie par ∀x ∈ R, h(x) =
⎧
⎨
⎩
x − Arctan(x)
x 2
si x = 0,
0
s i x = 0.
Montrer que h est de classe C
∞ sur R.
3) Montrer que (E) possède une unique solution f définie et de classe C
1 sur R.
4) Calculer
1
0
f (x)dx.
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les coefficients
sont des fonctions continues sur R. Comme le coefficient de y
s’annule pour x = 0,
l’énoncé propose d’effectuer la résolution sur I 1 = ]0, +∞[ et sur I 2 = ]−∞, 0[
dans un premier temps, puis d’étudier le raccordement éventuel d’une solution définie sur I 1 et d’une solution définie sur I 2 .
1) Les solutions définies sur I k (k = 1 , 2) de l’équation homogène associée
x y
+ 2y = 0 sont les fonctions y k telles que : ∀x ∈ I k , y k (x) =
l k
x 2 .
Pour la résolution de l’équation complète, nous pouvons utiliser la méthode de variation de la constante : les solutions de l’équation (E) sur I k sont les fonctions y k
définies par : ∀x ∈ I k , y k (x) =
l k (x)
x 2 , où l k est une fonction de classe C
1 telle que
∀x ∈ I k ,
l
k (x)
x 2 =
1
x 2 + 1
. On en déduit que l
k (x) =
x
2
x 2 + 1
= 1 −
1
1 + x 2 , et donc
l k (x) = x − Arctan(x) + a k où a k est une constante réelle.