11.3 Exercices d’approfondissement 281
On en déduit que :
∀(x, u) ∈ D 0 , |K (x, u)| |K (x, u 0 )| , et
∂ K
∂u
(x, u)
∂ K
∂u
(x, u 0 )
.
On a de plus
|K (x, u 0 )| ∼ x
b−1 quand x → 0,
|K (x, u 0 )| ∼ x
b−2 quand x → +∞,
∂ K
∂u
(x, u 0 )
∼ x
b quand x → 0 et
∂ K
∂u
(x, u 0 )
∼ x
b−2 quand x → +∞,
d’où l’on déduit, par comparaison à une intégrale de Riemann, que les fonctions
x → |K (x, u 0 )| et x →
∂ K
∂u
(x, u 0 )
sont intégrables sur ]0, +∞[.
Le théorème de dérivation sous le signe somme montre alors que la fonction w b
définie par w b (u) =
+∞
0
x
b−1
1 + xe iu dx est de classe C
1 sur tout segment [−u 0 , u 0 ]
(et donc sur ]−p, p[), et que
∀u ∈ ]−p, p[, w
b (u) =
+∞
0
−ie
iu x
b
(1 + xe iu ) 2 dx
Dans cette dernière intégrale nous effectuons une intégration par parties, avec les
fonctions auxiliaires u : x →
1
1 + xe iu et v : x → i x
b . Comme le produit uv a des
limites nulles en 0 et +∞, on obtient
w
b (u) =
+∞
0
−ibx
b−1
1 + xe iu dx = −ibw b (u) .
On en déduit qu’il existe une constante K telle que w b (u) = K e
−ibu , et la question 2
montre que K = w b (0) =
p
sin(bp)
. On a donc w b (u) =
pe
−ibu
sin(bp)
.
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