280 Chap. 11. Séries de Fourier
Pour le calcul de I 2 , posons a = 1 − b. En remplaçant b par 1 − b dans l’expression de I 1 , on obtient I 2 =
+∞
n=0
(−1)
n
1
n + 1 − b
.
On a enfin I =
1
b
+
+∞
n=1
(−1)
n 1
n + b
+
+∞
n=0
(−1)
n
1
n + 1 − b
, et en regroupant les
termes, on obtient I =
1
b
+ 2b
+∞
n=1
(−1)
n−1
n 2 − b 2 .
2. La fonction f b est continue sur R et de classe C
1 par morceaux. Le théorème de
convergence normale montre que sa série de Fourier converge normalement sur
R, et que sa somme est égale à f b .
Les calculs des coefficients de Fourier de f b ont été effectués dans l’exercice 11.7 :
on a ∀n ∈ N
∗ , b n ( f b ) = 0, a 0 ( f b ) =
2
pb
sin(bp), et, pour n 1,
a n ( f b ) =
2(−1)
n−1 b sin(bp)
p(n 2 − b 2 )
.
On a donc, pour tout x ∈ R,
f b (x) =
1
pb
sin(bp) +
+∞
n=1
(−1)
n−1 2b sin(bp)
p(n 2 − b 2 )
cos(nx).
3. Avec x = 0, la relation précédente donne
1 =
sin(bp)
p
1
b
+ 2b
+∞
n=1
(−1)
n−1
n 2 − b 2
Il en résulte que
p
sin(bp)
=
1
b
+ 2b
+∞
n=1
(−1)
n−1
n 2 − b 2 =
+∞
0
x
b−1
1 + x
dx .
4. Le détail des calculs est assez technique.
Posons D = R
∗
+ × ]−p, p[ → R, et soit K : D → C la fonction définie par
K (x, u) =
x
b−1
1 + xe iu . Elle est continue sur D, et elle admet une dérivée partielle
∂ K
∂u
(x, u) =
−ie
iu x
b
(1 + xe iu ) 2 qui est-elle aussi continue sur D. Nous allons vérifier des
hypothèses de dominations sur D 0 = R
∗
+ × [−u 0 , u 0 ], où u 0 est un nombre réel
fixé (0 < u 0 < p). Pour cela nous utilisons la minoration
1 + xe
iu
2 = (1 + x cos u)
2 + x
2 sin
2 u
= 1 + 2x cos u + x
2
1 + 2x cos u 0 + x
2 =
1 + xe
iu 0
2 .