306 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
On en déduit que la fonction f définie par f (x) =
a 1
2
x sin x + S(x) est une solution
de l’équation différentielle (E 2 ). Les solutions sont donc toutes les fonctions telles
que f (x) =
a 1 x
2
sin(x) +
+∞
n=2
a n
n 2 − 1
cos nx + a cos x + b sin x où a et b sont deux
constantes réelles.
12.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 12.21
Centrale PSI 2006 K
Soit f une fonction de classe C
2 de R dans R telle que f + f
0. Montrer que
f (x + p) + f (x) 0 pour tout x ∈ R.
Indication de la rédaction : on pourra poser q = f + f
et résoudre l’équation
différentielle y
+ y = q par la méthode de variation des constantes.
Posons q = f + f
. La fonction q est continue sur R, et q(x) 0 pour tout x ∈ R.
La fonction f est alors une solution de l’équation différentielle (E) y
+ y = q.
Les fonctions cos et sin forment un système fondamental de solutions de l’équation
homogène y + y
= 0. La méthode de variation des constantes montre qu’il existe
deux fonctions l et m de classe C
1 sur R, telles que
∀x ∈ R,
l
(x) cos x + m
(x) sin x =
0
−l
(x) sin x + m
(x) cos x = q(x)
Il en résulte que l
(x) = −q(x) sin x et m
(x) = q(x) cos x, d’où
∀x ∈ R,
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
l(x) = −
x
0
q(t) sin t dt + a
m(x) = −
x
0
q(t) cos t dt + b
où a et b sont des constantes réelles, et donc
f (x) = l(x) cos x + m(x) sin x
=
x
0
q(t)
sin x cos t − cos x sin t
dt + a cos x + b sin x
=
x
0
q(t) sin(x − t) dt + a cos x + b sin x.