278 Chap. 11. Séries de Fourier
Or : gg
= (x − iy)(x
+ iy
) = x x
+ yy
− i(x
y − x y
). D’où
2p
0
g(t)g
(t) dt =
2p
0
[x(t)x
(t) + y(t)y
(t)] dt + i
2p
0
[x(t)y
(t) − x
(t)y(t)] dt
=
1
2
x
2 (t) + y
2 (t)
2p
0
+ 2i S
= 2i S (puisque t → x
2 (t) + y
2 (t) est 2p-périodique).
2) Cela résulte de l’inégalité
g(t)g
(t)
1
2
(|g(t)|
2 + |g
(t)|
2 ).
3) Il résulte des questions 1) et 2) que
|S|
1
2
2p
0
g(t)g
(t)
dt
1
4
2p
0
|g(t)|
2 dt +
2p
0
|g
(t)|
2 dt
.
En utilisant l’inégalité de Wirtinger on obtient |S|
1
2
2p
0
|g
(t)|
2 dt = p.
L’égalité |S| = p entraîne le cas d’égalité dans l’inégalité de Wirtingen. On a donc
dans ce cas g(t) = Ae
it + Be
−it où A et B sont deux constantes complexes. La
relation ∀t ∈ R, |g
(t)| = 1 s’écrit alors |A|
2 + |B|
2 + (AB)e
it + (AB)e
−it = 1,
d’où on déduit facilement B = 0 et |A| = 1, ou bien A = 0 et |B| = 1. On a alors
g(t) = Ae
it où g(t) = Be
−it et dans les deux cas G est un cercle centré à l’origine
et de rayon 1.
Ce résultat montre que parmi toutes les courbes régulières fermées dont la longueur
est fixée (on peut toujours supposer qu’une telle courbe est définie par une paramétrisation normale et que sa longueur est égale à 2p) celle qui limite le domaine d’aire
maximale est le cercle.
(La condition
2p
0
g(t)dt = 0 semble limitative, mais on peut toujours la supposer
vérifiée, quitte à faire un changement d’origine du repère : il suffit de prendre pour
nouvelle origine le point V de coordonnées x 0 =
2p
0
x(t)dt et y 0 =
2p
0
y(t)dt.)
Exercice 11.18
Centrale PSI 2006 K K
Soit b ∈ ]0, 1[.
1. Montrer que
+∞
0
x
b−1
1 + x
dx =
1
b
+ 2b
+∞
n=1
(−1)
n−1
n 2 − b 2 .
2. Soit f b l’unique fonction 2p-périodique de R dans R coïncidant avec
x → cos(bx) sur [−p, p]. Calculer les coefficients de Fourier de f b ; étudier
la convergence de la série de Fourier.
Or : gg
= (x − iy)(x
+ iy
) = x x
+ yy
− i(x
y − x y
). D’où
2p
0
g(t)g
(t) dt =
2p
0
[x(t)x
(t) + y(t)y
(t)] dt + i
2p
0
[x(t)y
(t) − x
(t)y(t)] dt
=
1
2
x
2 (t) + y
2 (t)
2p
0
+ 2i S
= 2i S (puisque t → x
2 (t) + y
2 (t) est 2p-périodique).
2) Cela résulte de l’inégalité
g(t)g
(t)
1
2
(|g(t)|
2 + |g
(t)|
2 ).
3) Il résulte des questions 1) et 2) que
|S|
1
2
2p
0
g(t)g
(t)
dt
1
4
2p
0
|g(t)|
2 dt +
2p
0
|g
(t)|
2 dt
.
En utilisant l’inégalité de Wirtinger on obtient |S|
1
2
2p
0
|g
(t)|
2 dt = p.
L’égalité |S| = p entraîne le cas d’égalité dans l’inégalité de Wirtingen. On a donc
dans ce cas g(t) = Ae
it + Be
−it où A et B sont deux constantes complexes. La
relation ∀t ∈ R, |g
(t)| = 1 s’écrit alors |A|
2 + |B|
2 + (AB)e
it + (AB)e
−it = 1,
d’où on déduit facilement B = 0 et |A| = 1, ou bien A = 0 et |B| = 1. On a alors
g(t) = Ae
it où g(t) = Be
−it et dans les deux cas G est un cercle centré à l’origine
et de rayon 1.
Ce résultat montre que parmi toutes les courbes régulières fermées dont la longueur
est fixée (on peut toujours supposer qu’une telle courbe est définie par une paramétrisation normale et que sa longueur est égale à 2p) celle qui limite le domaine d’aire
maximale est le cercle.
(La condition
2p
0
g(t)dt = 0 semble limitative, mais on peut toujours la supposer
vérifiée, quitte à faire un changement d’origine du repère : il suffit de prendre pour
nouvelle origine le point V de coordonnées x 0 =
2p
0
x(t)dt et y 0 =
2p
0
y(t)dt.)
Exercice 11.18
Centrale PSI 2006 K K
Soit b ∈ ]0, 1[.
1. Montrer que
+∞
0
x
b−1
1 + x
dx =
1
b
+ 2b
+∞
n=1
(−1)
n−1
n 2 − b 2 .
2. Soit f b l’unique fonction 2p-périodique de R dans R coïncidant avec
x → cos(bx) sur [−p, p]. Calculer les coefficients de Fourier de f b ; étudier
la convergence de la série de Fourier.