11.3 Exercices d’approfondissement 277
D’où en prenant les parties réelle et imaginaire :
∀n ∈ N, a n (g) =
a(e
2ap
− 1)
p(a 2 + n 2 )
et b n (g) =
−n(e
2ap
− 1)
p(a 2 + n 2 )
.
Comme g est 2p-périodique et de classe C
1 par morceaux, le théorème de Dirichlet donne :
∀x ∈ ]0, 2p[, e
ax =
e
2ap
− 1
p
1
2a
+
+∞
n=1
a
a 2 + n 2 cos nx −
n
a 2 + n 2 sin nx
Le théorème de Dirichlet donne pour x = 0
1 + e
2ap
2
=
e
2ap
− 1
p
1
2a
+
+∞
n=1
a
a 2 + n 2
,
d’où
+∞
n=1
a
a 2 + n 2 =
p
2
e
2ap + 1
e 2ap − 1
−
1
2a
=
1
2
p
th(ap)
−
1
a
.
Exercice 11.17
(Inégalité isopérimétrique) Centrale PSI 2006 K K
Soit g : t → g(t) = x(t) + iy(t) une application de classe C
1 et 2p-périodique de
R dans C telle que ∀t ∈ R, |g
(t)| = 1, et telle que
2p
0
g(t) dt = 0. On note G
la courbe définie par la paramétrisation
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [0, 2p], et on note
S l’aire du domaine délimitée par G.
1) Montrer que S =
1
2i
2p
0
g(t)g
(t) dt.
2) Montrer que
2p
0
g(t)g
(t)
dt
1
2
2p
0
|g(t)|
2 dt +
2p
0
|g
(t)|
2 dt
.
3) En déduire que |S| p et étudier le cas d’égalité. Interprétation géométrique ?
Indications de la rédaction : pour la question 1 on rappelle que l’aire algébrique
du domaine limitée par G est S =
1
2
2p
0
x(t)y
(t) − x
(t)y(t)
dt. Pour la question 3 on pourra utiliser l’inégalité de Wirtinger (cf. exercice 11.9 page 266).
1) Utilisons l’indication. On a S =
1
2
2p
0
x(t)y
(t) − x
(t)y(t)
dt.
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