276 Chap. 11. Séries de Fourier
Pour tout n ∈ N, désignons par v n la fonction définie sur R
∗
+ par
v n (x) = e
−(n+1)x sin ax. v n est continue sur R
∗
+ et la fonction |v n | est intégrable
sur I puisque |v n (x)| e
−(n+1)x .
Afin d’utiliser le théorème d’intégration terme à terme sur un intervalle, nous cherchons à démontrer la convergence de la série de terme général
+∞
0
|v n (x)| dx.
La simple majoration |v n (x)| e
−(n+1)x ne permet pas de conclure car la série de
terme général
+∞
0
e
−(n+1)x dx =
1
n + 1
est divergente !
En revanche la majoration |sin ax| |a| x, suivie d’une intégration par parties
permet de conclure puisque
+∞
0
|v n (x)| dx |a|
+∞
0
xe
−(n+1)x dx
|a|
−xe
−(n+1)x
n + 1
x→+∞
x=0
+
1
n + 1
+∞
0
e
−(n+1)x dx
|a|
(n + 1) 2 ,
et la série de terme général
1
(n + 1) 2 est convergente.
Il en résulte que l’intégrale
+∞
0
sin(ax)
e x − 1
dx est convergente, et que
+∞
0
sin(ax)
e x − 1
dx =
+∞
n=0
+∞
0
e
−(n+1)x sin ax dx .
On calcule enfin
+∞
0
e
−(n+1)x sin ax dx =
1
2i
+∞
0
e
−(n+1)x e
iax dx −
+∞
0
e
−(n+1)x e
−iax dx
=
1
2i
−1
−(n + 1) + ia
−
−1
−(n + 1) − ia
=
a
(n + 1) 2 + a 2
On a donc bien :
+∞
0
sin(ax)
e x − 1
dx =
+∞
n=0
a
a 2 + (n + 1) 2 =
+∞
n=1
a
a 2 + n 2 .
3. Afin d’obtenir les coefficients a n (g) et b n (g), calculons pour n ∈ N,
1
p
2p
0
e
at e
int dt =
1
p
2p
0
e
(a+in)t dt
=
1
p
1
a + in
(e
2ap
− 1)
=
1
p
a − in
a 2 + n 2 (e
2ap
− 1)