11.3 Exercices d’approfondissement 275
3. Soit l ∈ R
∗
+ . Comme la série de fonctions
u n , avec u n : t →
f (t) cos(2nlt)
4n 2 − 1
converge normalement sur [a, b], on a
b
a
f (t) |sin(lt)| dt =
b
a
f (t)
2
p
−
4
p
+∞
n=1
cos(2nlt)
4n 2 − 1
dt
=
2
p
b
a
f (t)dt −
4
p
+∞
n=1
b
a
f (t) cos(2nlt)
4n 2 − 1
dt .
Or
+∞
n=1
b
a
f (t) cos(2nlt) dt
4n 2 − 1
+∞
n=1
1
4n 2 − 1
b
a
f (t) cos(2nlt)dt
A
2l
+∞
n=1
1
n(4n 2 − 1)
→ 0 quand l → +∞ .
Il en résulte que lim
l→+∞
b
a
f (t) |sin(lt)| dt =
2
p
b
a
f (t)dt.
Exercice 11.16
Mines-Ponts PC 2006 K K
Soit a ∈ R
∗ .
1. Démontrer que pour tout x ∈ R
∗
+ ,
+∞
n=0
e
−(n+1)x =
1
e x − 1
.
2. Montrer que
+∞
0
sin(ax)
e x − 1
dx =
+∞
n=1
a
a 2 + n 2 .
3. Soit g la fonction 2p-périodique dont la restriction à [0, 2p[ est x → e
ax .
Déterminer la série de Fourier de g, et justifier sa convergence.
4. En déduire
+∞
n=1
a
a 2 + n 2 .
1. Pour x ∈ R
∗
+ on a 0 < e
−x < 1. La série géométrique
e
−(n+1)x est donc
convergente, et sa somme est égale à
e
−x
1 − e −x =
1
e x − 1
.
2. Soit f l’application de R
∗
+ dans R définie par f (x) =
sin ax
e x − 1
. f est continue sur
]0, +∞[, et on a, pour tout x ∈ R
∗
+ ,
f (x) =
+∞
n=0
e
−(n+1)x sin ax
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