274 Chap. 11. Séries de Fourier
Compte tenu des relations
sin(np(x − 1) = (−1)
n sin(npx) et sin(np(x − 1) = (−1)
n sin(npx)
on obtient :
∀(x, y) ∈ [0, 1]
2 , K (x, y) = −
2
p 2
+∞
n=1
sin(npx) sin(npy)
n 2
.
Exercice 11.15
CCP PC 2006 K
Soit (a, b) ∈ R
2 tel que a < b et soit f une fonction de classe C
1 sur le segment
[a, b]. On veut démontrer, à l’aide des séries de Fourier, que
lim
l→+∞
b
a
f (t) |sin(lt)| dt =
2
p
b
a
f (t)dt.
1. On considère la fonction g définie sur R par g(t) = |sin t|.
Tracer le graphe de g et calculer les coefficients de Fourier de g. Démontrer
que pour tout t ∈ R,
g(t) =
2
p
−
4
p
+∞
n=1
cos(2nt)
4n 2 − 1
.
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer qu’il existe une constante réelle
A > 0 telle que, pour tout r > 0,
b
a
f (t) cos(rt)dt
A
r
.
3. Conclure.
1. Cette question a été traitée dans l’exercice (11.6) (voir page 261). Les coefficients de Fourier b n (g) sont nuls. Pour tout n ∈ N, on a a 2n (g) = −
4
p
1
4n 2 − 1
et
a 2n+1 (g) = 0.
Comme g est 2p-périodique, de classe C
1 par morceaux, et continue sur R, le
théorème de convergence normale montre que la série de Fourier de g converge
normalement sur R et que
∀t ∈ R, |sin t| =
2
p
−
4
p
+∞
n=1
cos(2nt)
4n 2 − 1
·
2. À l’aide d’une intégration par parties on obtient, pour r > 0,
b
a
f (t) cos(rt)dt =
f (t)
sin(rt)
r
b
a
−
1
r
b
a
f
(t) sin(rt)dt .
En posant M = sup( f ∞ , f
∞ ), on a alors
b
a
f (t) cos(rt)dt
2M + (b − a)M
r
=
A
r
.