11.3 Exercices d’approfondissement 273
2) En déduire que pour tout (x, y) ∈ R
2 vérifiant |x| + |y| 1, on a :
(x + y)
2 =
1
3
+
4
p 2
+∞
n=1
(−1)
n cos np(x + y)
n 2
puis, en utilisant la relation x y =
1
4
(x + y)
2
− (x − y)
2
,
x y = −
2
p 2
+∞
n=1
(−1)
n sin(npx) sin(npy)
n 2
.
3) En déduire finalement que
∀(x, y) ∈ [0, 1]
2 , K (x, y) = −
2
p 2
+∞
n=1
sin(npx) sin(npy)
n 2
.
1) La fonction f est 2p-périodique, continue sur R et de classe C
1 par morceaux. Il
en résulte que la série de Fourier de f est normalement convergente, et que sa somme
est égale à f .
Elle est paire donc les coefficients de Fourier b n ( f ) sont nuls. On calcule aisément
a 0 ( f ) =
2p
2
3
et, à l’aide de deux intégrations par parties successives,
a n ( f ) =
2
p
p
0
t
2 cos(nt)dt =
4(−1)
n
n 2
pour n 1
D’où : ∀t ∈ [−p, p], t
2 =
p
2
3
+ 4
+∞
n=1
(−1)
n cos(nt)
n 2
.
2) Soient x et y sont deux nombres réels tels que |x| + |y| 1. On a alors
p(x + y) ∈ [−p, p] et donc
(x + y)
2 =
1
3
+
4
p 2
+∞
n=1
(−1)
n cos np(x + y)
n 2
.
On a de même (x − y)
2 =
1
3
+
4
p 2
+∞
n=1
(−1)
n cos np(x − y)
n 2
, puis en utilisant la
relation x y =
1
4
(x + y)
2
− (x − y)
2
,
x y =
1
p 2
+∞
n=1
(−1)
n cos(np(x + y)) − cos(np(x − y))
n 2
= −
2
p 2
+∞
n=1
(−1)
n sin(npx) sin(npy)
n 2
3) Si (x, y) ∈ [0, 1]
2 et si x y, alors |y − 1|+|x| = 1− y + x 1. On voit de même
que |x − 1| + |y| 1 lorsque y x. On peut donc appliquer le résultat précédent.
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