272 Chap. 11. Séries de Fourier
2c) Appliquons la question 1 avec z = e
iu . On obtient alors f (e
iu ) =
+∞
k=1
(−1)
k−1
3 k−1 e
iku ,
et on en déduit que g(u) =
2
3
+∞
k=1
(−1)
k−1
3 k
sin ku.
2d) Soit n ∈ N. La série de fonctions
u k , où u k (u) =
(−1)
k−1
3 k
sin ku sin nu
converge normalement sur R. Le théorème d’intégration terme à terme donne alors
les coefficients de Fourier b n (g) :
b n (g) =
2
p
p
0
g(u) sin nu du =
2
3
+∞
k=1
(−1)
k−1
3 k
2
p
p
0
sin ku sin nu du =
2
3
(−1)
n−1
n
.
La série de Fourier de g est donc la série trigonométrique trouvée à la question 2.c.
3) On a d’une part
2p
3
0
g(u) du = −
1
3
ln(5 + 3 cos u
2p
3
0
=
1
3
ln
16
7
.
D’autre part par intégration terme à terme d’une série de fonctions normalement
convergente,
2p
3
0
g(u) du =
2
3
+∞
n=1
(−1)
n−1
n3 n
− cos u
2p
3
0
=
2
3
+∞
n=1
(−1)
n−1
n3 n
1 − cos
2np
3
(∗).
Posons alors a n =
(−1)
n−1
n3 n
1 − cos
2np
3
et b k = a 3k + a 3k+1 + a 3k+2 .
On calcule b k =
(−1)
3k
(3k + 1)3 k+1
1 +
1
2
+
(−1)
3k+1
(3k + 2)3 k+2
1 +
1
2
.
On en déduit b k =
(−1)
k (6k + 5)
3 3k+2 (3k + 1)(3k + 2)
, et en regroupant 3 à 3 les termes dans la
série (∗), on obtient S =
1
3
ln
16
7
.
Exercice 11.14 K
Soit K : [0, 1] × [0, 1] → R la fonction définie par
K : (x, y) →
(x − 1)y si y x,
(y − 1)x si x y.
1) Soit f la fonction 2p-périodique telle que f (t) = t
2 pour tout t ∈ [−p, +p].
Déterminer la série de Fourier de f et indiquer son mode de convergence et sa
somme.