11.3 Exercices d’approfondissement 271
2. Soit g la fonction impaire, 2p-périodique, définie sur R par
∀u ∈ R, g(u) =
sin u
5 + 3 cos u
.
2.a Montrer que la série de Fourier de g converge normalement sur R, et que
sa somme est égale à g.
2.b Montrer qu’il existe une constante réelle A, que l’on déterminera, telle
que :
∀u ∈ R, g(u) = A Im
f (e
iu )
,
où Im( f (e
iu )
désigne la partie imaginaire de f (e
iu ).
2.c A l’aide de la question 1, déterminer un développement de g sous la forme
de la somme d’une série trigonométrique g(u) =
+∞
k=0
b k sin ku.
2.d En déduire pour tout n ∈ N
∗ la valeur de l’intégrale I n =
2
p
p
0
g(u) du,
puis la série de Fourier de g.
3. Calculer
2p
3
0
g(u) du. En déduire la valeur de la somme
S =
+∞
k=0
(−1)
k (6k + 5)
3 3k+2 (3k + 1)(3k + 2)
.
1) À l’aide de la série géométrique on obtient pour tout z ∈ C tel que |z| 3 :
f (z) =
z
1 +
z
3
= z
+∞
k=0
(−1)
k
3 k z
k =
+∞
k=0
(−1)
k
3 k z
k+1 =
+∞
k=1
(−1)
k−1
3 k−1 z
k .
Le rayon de convergence est égal à 3.
2a) g est 2p-périodique et de classe C
1 sur R. Le théorème de convergence normale
montre que la série de Fourier de g converge normalement sur R, et que sa somme
est égale à g. Comme de plus g est impaire, on a a n (g) = 0 pour tout n ∈ N.
2b) On a :
Im
f (e
iu )
=
1
2i
3e
−iu
3 + e iu −
3e
−iu
3 + e iu
=
1
2i
9(e
iu
− e
−iu )
10 + 3(e iu + e −iu )
=
9 sin u
10 + 6 cos u
=
9
2
g(u).
et donc g(u) =
2
9
Im
f (e
iu )
.
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