270 Chap. 11. Séries de Fourier
Exercice 11.12
1) Soient a et b deux nombres complexes. Montrer que
ab =
1
4
|a + b|
2 − |a − b|
2 + i |a + ib|
2 − i |a − ib|
2
.
2) Soient f et g deux fonctions continues par morceaux et 2p-périodiques de R
dans C.
Montrer que la série de terme général c n ( f )c n (g)+c −n ( f )c −n (g) est convergente
et que
c 0 ( f )c 0 (g) +
+∞
n=1
(c n ( f )c n (g) + c −n ( f )c −n (g)) =
1
2p
2p
0
f (t)g(t)dt .
1) Lorsque l est un nombre complexe, on a |a + lb|
2 = |a|
2 + lab + lab + |l|
2 |b|
2 .
En donnant à l les valeurs successives l = 1, −1, i et −i on obtient
|a + b|
2 − |a − b|
2 + i |a + ib|
2 − i |a − ib|
2 = 4ab .
2) On en déduit que pour tout n ∈ Z,
c n ( f )c n (g) =
1
4
|c n (g + f )|
2 − |c n (g − f )|
2 + i |c n (g + i f )|
2 − i |c n (g − i f )|
2
.
En appliquant le théorème de Parseval aux fonctions (g + f ), (g − f ), (g + i f )
et (g − i f ), on voit que la série de terme général c n ( f )c n (g) + c −n ( f )c −n (g) est
convergente et que
c 0 ( f )c 0 (g) +
+∞
n=1
(c n ( f )c n (g) + c −n ( f )c −n (g))
=
1
2p
2p
0
|g + f |
2 − |g − f |
2 + i |g + i f |
2 − i |g − i f |
2
dt
=
1
2p
2p
0
f (t)g(t)dt .
11.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 11.13
CCP PC 2007
Soit f : C \ {−3} → R la fonction définie par f (z) =
3z
3 + z
.
1. Développer f (z) en série entière au voisinage de 0. Quel est le rayon de
convergence de la série entière obtenue ?