11.2 Exercices d’entraînement 269
1) Montrer que f ∗ g est une fonction continue 2p-périodique.
2) Calculer les coefficients de Fourier de f ∗ g en fonction de ceux de f et de g.
3) Démontrer que la série de Fourier de f ∗ g est normalement convergente, et
calculer sa somme.
1) Pour x fixé dans R, l’application t → f (t)g(x − t) est continue sur R. Donc
l’intégrale
2p
0
f (t)g(x − t)dt existe.
L’application w : R × [0, 2p] → C définie par w(x, t) = f (t)g(x − t) est continue.
De plus comme f et g sont bornées, il existe des constantes réelles A et B telles que
| f (x)| A et |g(x)| B pour tout x ∈ R. w vérifie donc l’hypothèse de domination
|w(x, t)| AB pour tout (x, t) ∈ R × [0, 2p].
On en conclut que la fonction f ∗ g est continue sur R.
Elle est aussi 2p-périodique car si (x, t) ∈ R
2 , on a g(x + 2p − t) = g(x − t).
2) Soit n ∈ Z. On a
c n ( f ∗ g) =
1
2p
2p
0
1
2p
2p
0
f (t)g(x − t) dt
e
−inx dx
=
1
(2p) 2
2p
0
2p
0
f (t)g(x − t)e
−inx dt
dx
=
1
(2p) 2
2p
0
2p
0
f (t)g(x − t)e
−inx dx
dt (théorème de Fubini)
=
1
(2p) 2
2p
0
f (t)
2p
0
g(x − t)e
−inx dx
dt
=
1
(2p) 2
2p
0
f (t)
2p−t
−t
g(y)e
−in(y+t) dy
dt
(changement de variable y = x − t)
=
1
2p
2p
0
c n (g) f (t)e
−int dt
= c n ( f )c n (g)
3) Les séries numériques
|c n ( f )|
2 et
|c n (g)|
2 sont convergentes d’après le
théorème de Parseval. L’inégalité |c n ( f )c n (g)|
1
2
|c n ( f )|
2 + |c n (g)|
2
montre que
la série numérique
|c n ( f ∗ g)| est convergente. On montre de même que la série
|c −n ( f ∗ g)| converge. La série de Fourier de f ∗g est donc normalement convergente, et sa somme est égale à f ∗ g.
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