268 Chap. 11. Séries de Fourier
Le théorème de Dirichlet montre que ∀t ∈ R, g(t) =
12
p 3
+∞
n=1
(−1)
n+1 sin nt
n 3
, d’où
∀x ∈ [−1, 1], x(1 − x
2 ) =
12
p 3
+∞
n=1
(−1)
n+1 sin npx
n 3
.
C’est bien la forme souhaitée, avec, pour tout n ∈ N
∗ , b n =
12
p 3
(−1)
n+1
n 3 .
2) Pour tout n ∈ N
∗ , soit v n la fonction définie par v n (x) =
(−1)
n+1 sin npx
n 3
.
v n est continue sur [0, 1] et la série
v n converge normalement sur [0, 1]. On peut
donc intégrer terme à terme :
1
0
x(1 − x
2 ) dx = −
12
p 4
+∞
n=1
(−1)
n+1 [cos npx]
1
0
n 4
=
12
p 4
+∞
n=1
1 − (−1)
n
n 4
=
24
p 4
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4
On en déduit
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 =
p
4
24
1
0
x(1 − x
2 ) dx =
p
4
96
.
Enfin la formule de Parseval appliquée à la fonction g donne
2
p
p
0
g(t)
2 dt =
144
p 6
+∞
n=1
1
n 6
On obtient finalement
+∞
n=1
1
n 6 =
p
6
945
.
Vérification : avec Maple on obtient
> sum(1/(2*p+1)^4,p=0..infinity);
1/96 Pi^6
> sum(1/n^6,n=1..infinity);
1/945 Pi^6
Exercice 11.11
(Produit de convolution) Mines-Ponts PSI 2006
On désigne par C 2p l’espace vectoriel des fonctions continues, 2p-périodiques,
de R dans C. Soient f , g ∈ C 2p . On note f ∗ g la fonction de R dans C définie
par ∀x ∈ R, ( f ∗ g)(x) =
1
2p
2p
0
f (t)g(x − t)dt .