11.2 Exercices d’entraînement 267
car c 0 ( f
) =
1
2p
2p
0
f
(t)dt =
1
2p
( f (2p) − f (0)) = 0.
On en déduit que
1
2p
2p
0
| f
(t)|
2 dt −
1
2p
2p
0
| f (t)|
2 dt =
+∞
n=1
(n
2
− 1)(|c n ( f )|
2 + |c −n ( f )|
2 ) > 0,
et donc
2p
0
| f (t)|
2 dt
2p
0
| f
(t)|
2 dt.
Examinons à présent le cas d’égalité. Comme n
2
− 1 > 0 pour n > 1, l’égalité
2p
0
| f (t)|
2 dt =
2p
0
| f
(t)|
2 dt entraîne c n ( f ) = 0 pour tout n /
∈ {−1, 0, 1}.
Comme la fonction f est de classe C
1 , elle est égale à la somme de sa série de
Fourier et on a alors ∀x ∈ R, f (x) = c 1 e
i x + c −1 e
−i x . On retrouve les fonctions
étudiées dans la question 1.
Exercice 11.10
Centrale PC MP 2006
A l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Soit f définie sur [−1, 1] par f (x) = x(1 − x
2 ).
1) Montrer qu’il existe une suite (b n ) telle que
∀x ∈ [−1, 1], f (x) =
+∞
n=1
b n sin(npx).
2) Calculer
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 et
+∞
n=1
1
n 6 .
1) Introduisons d’abord la fonction
f , 2-périodique, qui coïncide avec f sur [−1, 1],
puis la fonction g, 2p-périodique, telle que ∀t ∈ R, g(t) =
f (t/p) .
En particulier, pour tout t ∈ [−p, p], g(t) =
t(p
2
− t
2 )
p 3
.
Ainsi définie g est 2p-périodique, impaire, de classe C
1 par morceaux, et continue
sur R. La série de Fourier de g est donc normalement convergente sur R, et sa somme
coïncide avec g. On a, pour tout n ∈ N, a n (g) = 0 et, pour tout n ∈ N
∗ ,
b n (g) =
2
p 4
p
0
t(p
2
− t
2 ) sin nt dt .
Confions ce calcul à Maple
> assume(n,integer):
> simplify(int(t*(Pi^2-t^2)*sin(n*t),t=0..Pi)*2/(Pi^4));
12
(−1)
(1+n)
n 3 p 3
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