266 Chap. 11. Séries de Fourier
En particulier, pour tout x ∈ [0, p],
x(p − x) =
p
2
6
−
+∞
p=1
cos(2 px)
p 2
=
8
p
+∞
n=0
sin((2n + 1)x)
(2n + 1) 3 .
Avec x =
p
2
, on obtient
p
2
4
=
p
2
6
−
+∞
p=1
(−1)
p
p 2 =
8
p
+∞
n=0
(−1)
n
(2n + 1) 3 .
Soit
+∞
p=1
(−1)
p
p 2 = −
p
2
12
et
+∞
n=0
(−1)
n
(2n + 1) 3 =
p
3
32
.
Exercice 11.9
(Inégalité de Wirtinger) CCP MP 2007, Mines-Ponts PC 2006
1) Soient (A, B) ∈ C
2 et g l’application de R → C définie par g(t) = Ae
it +Be
−it .
Montrer que
2p
0
|g(t)|
2 dt =
2p
0
|g
(t)|
2 dt
2) Soit f ∈ C
1 (R, C), 2p-périodique, telle que
2p
0
f (t)dt = 0.
Montrer que
2p
0
| f (t)|
2 dt
2p
0
| f
(t)|
2 dt. Dans quel cas y a-t-il égalité ?
Indication de la rédaction : utiliser la formule de Parseval.
1) On a |g(t)|
2 = |A|
2 + |B|
2 + ABe
2it + ABe
−2it . On en déduit que
2p
0
|g(t)|
2 dt = |A|
2 + |B|
2 .
On a ensuite g
(t) = i Ae
it
− i Be
−it , et donc
2p
0
|g
(t)|
2 dt = |A|
2 + |B|
2 =
2p
0
|g(t)|
2 dt.
2) Puisque f est de classe C
1 , on a pour tout n ∈ Z, c n ( f
) = inc n ( f ).
Les fonctions f et f
étant continues, la formule de Parseval donne
1
2p
2p
0
| f (t)|
2 dt =
+∞
n=1
(|c n ( f )|
2 + |c −n ( f )|
2 ),
car c 0 ( f ) =
1
2p
2p
0
f (t)dt = 0 . On a aussi
1
2p
2p
0
| f
(t)|
2 dt =
|c 0 ( f
)|
2
2
+
+∞
n=1
(|c n ( f
)|
2 + |c −n ( f
)|
2 )
=
+∞
n=1
n
2 (|c n |
2 ( f ) + |c −n ( f )|
2 ),