11.2 Exercices d’entraînement 265
–2
–1
1
2
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
Figure 11.4 Les graphes de f et de g.
et finalement, a n ( f ) =
2
pn 2 [(p − 2x) cos(nx)]
p
0 +
4
pn 2
p
0
cos(nx)dx
0
=
2
pn 2 (−p(−1)
n
− p) = −
2
n 2 (1 + (−1)
n ).
On a donc a n ( f ) = 0 si n est impair et a n ( f ) = −
4
n 2 si n est pair.
En appliquant le théorème de Dirichlet on obtient : ∀x ∈ R, f (x) =
p
2
6
−
+∞
p=1
cos(2 px)
p 2 .
Soit à présent g la fonction impaire 2p-périodique valant x(p − x) sur [0, p].
La fonction g est continue, C
1 par morceaux sur R.
b n (g) =
1
p
p
−p
g(x) sin(nx)dx =
2
p
p
0
x(p − x) sin(nx)dx
=
2
p
−x(p − x)
cos(nx)
n
p
0
=0
+
2
pn
p
0
(p − 2x) cos(nx)dx
= −
4
pn
p
0
x cos(nx)dx = −
4
pn
x
sin(nx)
n
p
0
=0
+
4
pn 2
p
0
sin(nx)dx
=
1−(−1) n
n
.
Donc b n (g) = 0 si n est pair et b n (g) =
8
pn 3 si n est impair. Par conséquent, pour tout
x ∈ R, nous avons g(x) =
8
p
+∞
n=0
sin((2n + 1)x)
(2n + 1) 3 , grâce au théorème de Dirichlet.
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