264 Chap. 11. Séries de Fourier
2) Par application du théorème de convergence normale on obtient
∀x ∈ R, f (x) =
sin ap
ap
−
2a sin ap
p
+∞
n=1
(−1)
n
n 2 − a 2 cos nx.
En particulier pour x = p on obtient
cos ap =
sin ap
ap
−
2a sin ap
p
+∞
n=1
1
n 2 − a 2
c’est-à-dire
cos ap
sin ap
=
1
ap
−
+∞
n=1
2a
p(n 2 − a 2 )
, puis, pour x = 0,
1 =
sin ap
ap
−
2a sin ap
p
+∞
n=1
(−1)
n
n 2 − a 2 , ou encore
1
sin ap
=
1
ap
−
+∞
n=1
2(−1)
n a
p(n 2 − a 2 )
.
Si t est un nombre réel qui n’est pas un multiple de p, le nombre réel a =
t
p
n’appartient pas à Z, et en remplaçant a par
t
p
dans les relations précédentes on
obtient cotan(t) =
1
t
−
+∞
n=1
2t
p 2 n 2 − t 2
et
1
sin t
=
1
t
−
+∞
n=1
2(−1)
n t
p 2 n 2 − t 2 .
Exercice 11.8
TPE PSI, PC 2005 K
Justifier que, pour x dans [0, p], on a
x(p − x) =
p
2
6
−
+∞
n=1
cos(2nx)
n 2
=
8
p
+∞
n=0
sin((2n + 1)x)
(2n + 1) 3 .
Qu’obtient-on avec x =
p
2
?
La présence de deux séries, l’une paire, et l’autre impaire, nous amène à prolonger la
fonction x → x(p − x) en une fonction paire d’une part, et en une fonction impaire
d’autre part.
Soit f la fonction paire, 2p-périodique, valant x(p − x) sur [0, p]. (Cf. FIG. (11.4))
La fonction f est continue et de classe C
1 par morceaux. On a
a 0 ( f ) =
2
p
p
0
x(p − x)dx =
2
p
−
x
3
3
+
px
2
2
p
0
=
p
2
3
,
et, pour n 1, a n ( f ) =
1
p
p
−p
f (x) cos(nx)dx =
2
p
p
0
x(p − x) cos(nx)dx.
D’où a n ( f ) =
2
p
x(p − x)
sin(nx)
n
p
0
0
−
2
p
p
0
(p − 2x)
sin(nx)
n
dx ,