11.2 Exercices d’entraînement 263
4. En utilisant la relation cos 2 px = 2 cos
2 px − 1 on obtient
∀x ∈ R, |sin x| =
2
p
−
4
p
⎛
⎝
+∞
p=1
2 cos
2 px − 1
4 p 2 − 1
⎞
⎠
=
2
p
−
4
p
⎛
⎝
+∞
p=1
2 cos
2 px
4 p 2 − 1
−
+∞
p=1
1
4 p 2 − 1
⎞
⎠
puisque les séries de termes généraux
2 cos
2 px
4 p 2 − 1
et
1
4 p 2 − 1
sont convergentes.
Comme
+∞
p=1
1
4 p 2 − 1
=
1
2
, on en déduit que ∀x ∈ R, |sin x| =
4
p
−
8
p
+∞
p=1
cos
2 px
4 p 2 − 1
.
Exercice 11.7
D’après CCP MP 2005, Mines-Ponts PSI 2006
Soit a ∈ R \ Z, et soit f la fonction 2p-périodique telle que f (x) = cos(ax)
pour x ∈ [−p, p].
1) Déterminer les coefficients de Fourier de f .
2) En déduire que pour tout t ∈ R \ pZ,
cotan(t) =
1
t
−
+∞
n=1
2t
p 2 n 2 − t 2
et
1
sin t
=
1
t
−
+∞
n=1
2(−1)
n t
p 2 n 2 − t 2
1) La fonction f est continue et de classe C
1 par morceaux. Comme elle est paire
les coefficients b n ( f ) sont nuls.
On a a 0 ( f ) =
2
p
p
0
cos ax dx =
2
ap
sin ax
p
0
=
2 sin ap
ap
et, pour n 1,
a n ( f ) =
2
p
p
0
cos ax cos nx dx
=
1
p
p
0
cos(a + n)x + cos(a − n)x
dx
=
1
p
sin(a + n)p
a + n
+
sin(a − n)p
a − n
=
(−1)
n sin ap
p
1
a + n
+
1
a − n
= −
2(−1)
n a sin ap
p(n 2 − a 2 )
·
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